逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-8)

对于限定摹状词（definite descriptions）（根据 Smiley 的处理，Smiley 1970）：

t＝ιxFx ↔ (∃！t∧∀x(x＝t ↔ Fx)).

对于集合抽象：

t＝{x|Fx} ↔ (∃！t∧∀x(x ∈ t ↔ Fx)).

对于数-抽象（根据 Tennant 的处理——见第4节）：

t＝xFx：↔ ∃R∃G(Rxy[Fx1 – 1Gy)∧t＝#xGx).

对于数-抽象（根据 Zalta 的处理——见第5节）：

t＝G：↔ t＝ιx(Ax∧∀F(xF ↔ F G )).

我们关注的这类单管抽象原则的重要特征是，它们不具备本体论承诺。假定或证明这些原则的理论需要通过特定的进一步本体论承诺的假定进行补充，才会承诺某些存有物，它们的广泛逻辑行为由单管抽象原则所捕获。例如，上述集合-抽象原则仅仅对集合、成员关系（membership）（‘∈’）和集合定义条件 F 之间的关联进行限制。它逻辑上暗示了外延性和转换模式（“如果 u 是所有且仅是 Fs 的集合的成员，那么 u 是 一个 F”，以及“如果 u 是一个 F，并且所有且仅是 Fs 的集合存在，那么 u 是其成员”），但不保证任何集合的存在——甚至不保证空集的存在。

1.2.3《法则》

弗雷格逻辑主义成就的核心内容被推迟到《算术基本法则》(Grundgesetze der Arithmetik)，该书的第一卷于1893年出版。他在前言中解释说，在《基础》之后将近十年的延迟，是由于他对《概念文字》（1879年）进行了一些重新思考——最重要的创新是引入了概念的 Werthverlauf（值域，或外延）的概念和符号。在《法则》出版时，弗雷格还明确了涵义和指称的区分，并决定将真值视为对象，实际上是作为句子的指称。

他坦言，他预计自己的符号体系会成为阻碍其思想传播和影响的一个“巨大的障碍”（Frege, 1893: x）。一方面，严格的符号和绝对严密且逻辑上无懈可击的证明对他的逻辑主义计划是必需的。另一方面，他担心，数学家会认为“这是形而上学，不值得阅读！”（metaphysica sunt, non leguntur! ），而哲学家则会认为“这是数学，不值得阅读！”（mathematica sunt, non leguntur! ）；（Frege, 1893: xii）。可怜的弗雷格或许是对的。但他《法则》的主要内容从未被很好地消化的原因可以从前后的对比中读出来。他在第一卷前言的结尾充满信心地写道：

我唯一会承认的反驳是，如果有人能实际证明在其他基础信念上可以建造一个更好和更可持续的大厦，或者有人能证明我的公理导致显然错误的结果。但没有人会成功做到这一点。”（Frege, 1893: xxvi）

这自信的陈述在某种程度上掩盖了他自己在几页前表达的对基本法则V 很有先见之明的疑虑：

据我所知，争议可能只会出现在我的值域（V）基本法则上，尽管逻辑学家可能没有将它特别表达出来，但例如当谈及概念的外延时，人们会想到它。我认为它是纯粹逻辑的。无论如何，这标志着必须作出决定的地方。”（Frege, 1893: vii）

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