逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-10)

都将产生对任何良构抽象词项@xΦx 的指称的存在承诺。这是因为，鉴于(ii)，自我等同 @xΦx＝@xΦx 也将逻辑上为真。而 @xΦx＝@xΦx 只有在 ∃！@xΦx 时才为真。这种考虑适用于任何定义谓词 Φ。这引发了 Tennant（1987: 236）和 Boolos（1987: 184）提出的反对意见，即在某些明显的情况下，对于特别有问题的概念 Φ 如自我等同），没有承诺这些词项的指称存在的先天证成。这是‘坏伙伴反对’（Bad Company objection）的最早形式。

1.2.4 弗雷格对自然数的处理

我们不会过多讨论弗雷格类理论的特殊性，而是尽力概述弗雷格论述中主要思想的总体形态，它们在《基础》中非正式地提出、并在《法则》中正式实行。

首先，弗雷格必须识别0，他将其定义为任何空概念的数。一个必然空的概念是非自我等同的概念：

0＝df x(x：≠ x).

接下来，弗雷格必须指定一个自然数是另一个自然数的后继或紧随其后的自然数的含义。如何定义 m 紧随 n 之后？答案是诉诸概念 F 和 G，它们分别具有 m 和 n 作为其（有限）基数（cardinals）。落入概念 F 下的对象必须比落入概念 G 下的对象刚好多一个。这将表现为在所有 G 和除一个之外的所有 F 之间存在一个一一对应关系（例如 R）。形式上：

m n ↔ ∃G(n＝#xGx∧∃F(m＝#xFx∧∃R∃y(Fy∧Rzω

₁₋₁

[Gz ↦ Gy](Fω∧ω ≠ y)]))).

onto

容易证明 n 恰好只有一个紧随的后继。也就是说，如果m 紧随 n 之后，且 m’ 紧随 n 之后，则 m＝m’。

现在，我们能对‘自然数’概念的外延说些什么呢？它必须包含0 以及从 0 通过有限多个连续后继可以到达的任何数。然而，这种描述又可能是循环的：如果不诉诸自然数本身这个概念，如何理解“有限”这个副词呢？

弗雷格的天才体现在他解决这一循环问题的方法中。他在1879年的《概念文字》中已经铺设了必要的逻辑和概念基础。对于任何二元关系R ，弗雷格定义了 x 是 y 的 R–祖先（R – αncestor），在此简写为R*xy）的含义。为此定义，他使用了两个辅助概念。第一个是概念 F 的 R–遗传性（R – hereditαry）：

∀x∀y(Fx → (Rxy → Fy)).

我们将其简写为

Hxy(Fx，Rxy)

第二个辅助概念我们表示为“ x 被 F R–阻挡”（ R – bαr），或者“F R–阻挡 x”，其定义如下：

∀z(Rxz → Fz).

我们将其简写为 Bz(Rxz，Fz).

现在我们可以给出弗雷格对祖先关系 R*xy 的定义：

∀G(Hυω(Gυ，Rυω) → (Bz(Rxz，Gz) → Gy)).

这告诉我们，y 落入任何 R–遗传且 R–阻挡 x 的概念 G。

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