逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-7)

这一等价的基本思想归功于休谟（因此这一原则的名称由此而来）；并且在弗雷格写作《基础》之前，康托早已利用这一思想取得了巨大的成果。如果不以这种方式使用一一对应，康托就无法激发他后来的突破性思想，即存在不同的无限数（见Cantor, 1891）。

弗雷格考虑是否可以将 HP 作为数的构造性定义——一个可以全面而准确地刻画数的性质的定义。但他得出结论，HP 不能满足这一更为严格但合理的要求。原因就是现在所知的尤利乌斯·凯撒难题（Julius Caesar Problem）。弗雷格坚持，我们对于数的定义应该使我们能够决定尤利乌斯·凯撒不是一个数（Grundlagen，§ 56）。他的结论是，HP 不能使我们做到这一点。

假设我们说如果篮子里恰好有两个苹果，那么篮子里的苹果数就是尤利乌斯·凯撒。为了保持一致，只需确保（根据 HP）将同一个数（即尤利乌斯·凯撒）分配给任何其他与概念“...是篮子里的苹果”一一对应的概念。因此，例如，严格介于4和8之间的素数的数量是尤利乌斯·凯撒。事实上，严格介于1和4之间的素数的数量是尤利乌斯·凯撒，其中一个素数就是尤利乌斯·凯撒本人！

一方面，HP 确实是关于数的一个必要条件。它必须被任何合法的抽象算子# 的解释所满足。然而，HP 并不充分确保由形式 # 指称的东西确实是数！

另一方面——正如弗雷格的细致推演所揭示的那样——HP 足以逻辑主义地导出自然数算术的戴德金-皮亚诺公设。这解释了 HP 在某些后来的新逻辑主义解释中享有的声誉（参见第2节）。

但是，弗雷格不仅仅想要一个逻辑上足够强大的来源来支持算术；他还想要一个能够解释数的形而上学本质的原则。数肯定至少是抽象的吧？数也是永恒的和必然的。它们不位于空间中，也不参与任何因果互动。因此，弗雷格寻求一种更深层的逻辑理论，能够为数赋予这些特性，从而解决凯撒难题。

不幸的是，在这方面他按理来说失败了（而这一失败与稍后讨论的罗素悖论无关）。弗雷格（错误地）认为（根据 Dummett, 1998），他可以通过将数识别为某种特殊的类（classes）或（概念的）外延来避免尤利乌斯·凯撒难题。在《基础》第68节，他写道：

我（对数）的定义如下：

属于概念 F 的数是概念“与概念 F 等同”的外延（Umfang）。

在“Umfang”的脚注处以这样一句话结尾：我假定一个概念的外延是众所周知的。对于那些仍需指导的人，《基本法则》（Grundgesetze）旨在提供这方面的说明。

尤利乌斯·凯撒难题原则上会困扰任何双管抽象原则。（这不是逻辑主义特有的问题；这是特定形式的抽象原则的问题。）这个问题可以通过使用单管抽象原则来避免。

当用句子而不是推理规则表示时，单管抽象原则的一般形式是：

t＝@xFx ↔. . .t. . .F. . .，

其中t 是一般性的单称词项（包括参数）的占位符，而不仅仅是 @词项。右侧可能包含 @ 的出现；此外，在取实例时，用以替换 F 或 t 的表达式可能包含 @ 的出现。对于单管抽象原则来说，重要的是相关理论中是否包含它作为定理（或定理模式）。

以下是一些单管抽象原则的例子。这里，∃

t 是 ∃xx＝t 的简写。它可以读作“t 存在”。

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