逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-6)

正如弗雷格所说，右侧的命题性内容已被“再切割”为左侧的同一性陈述。同一个思想以两种截然不同的方式呈现。它们具有相同的真值条件，但逻辑语法形式不同。

右侧的形式，在一个没有算子#的语言中，完全不涉及将数作为对象的承诺。然而，如果这样的语言通过添加#到其逻辑表达式的库中而得以扩展，那么就可以表达左侧的承诺数的形式。

意识到右侧的数感-概念的思想在扩展语言中可以等价地表达为左侧涉及数的思想，人们就可以认识到数是抽象的逻辑对象。在扩展的语言中，它们的存在可以根据纯粹的逻辑根据来确立。

1.2.2 休谟原则和凯撒难题

在《基础》中，弗雷格考虑了如下等价关系，称为休谟原则（Hume's Principle）：

(HP) xFx＝#xGx：↔ ∃R(R F G )

有两个重要特征需要注意。

首先，HP 的右侧明显二阶的，因为它涉及到对关系 R 的二阶量化；并且 HP 的右侧是纯逻辑的。这里，要定义的概念（被定义项）是关系 R 将 F 的对象一一映射到 G 的对象的概念。这可以用纯逻辑术语来阐明：每个 F 都与恰好一个 G 存在 R 关系，并且每个 G 都恰好与一个 F 存在 R 关系。用符号表示，这个定义项如下：

∀x(Fx → ∃y∀z(z＝y ↔ (Gz∧Rxz)))∧∀x(Gx → ∃y∀z(z＝y ↔ (Fz∧Rzx)))

我们将其简写为：

₁₋₁

Rxy[Fx ↦ Gy].

onto

其次，HP 涉及两个谓词，F 和 G。它这样做是为了陈述一个关于分别表示为 xFx：和 xGx：的数的同一性的重要标准。注意，左侧同一性陈述中的两个词项都是抽象词项。

让我们称（新）弗雷格的抽象原则（如 HP）为双管抽象原则（double-barreled abstraction principles），它们试图指定涉及两个不同抽象词项（涉及同一个抽象运算符 @）的同一性的真值条件。（单管抽象原则将稍后讨论。）双管抽象原则的一般形式是：

@xFx＝@xGx ↔ Ψ(F，G)

其中右侧表达了F 和 G 之间的二阶等价关系 Ψ，并且未使用 @。但这不排除这样的原则实例，其中 F 或 G，或两者，包含 @ 的出现。

通常，这些双管抽象原则被作为公设，或公理（或公理模式）提出。但这并不是绝对必要的。重要的是相关理论中是否包含这样一个原则作为定理（或定理模式）。像早期的方向抽象原则一样，HP 是一个双管抽象原则。弗雷格不幸失败的基本法则V 也是一个双管抽象原则，我们将在适当时候讨论它。

HP 告诉我们，数xFx：和 xGx：是相同的，当且仅当它们分别编号的谓词外延一一对应（在某个二元关系 R 下）。这种条件的另一种表达方式是说 F 和 G 是等数（equinumerous）的。

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