逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-5)

因此（忽略括号）我们得到：

ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛₛₛ＝ₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛ0，

正如前面所预示的那样。

在这部著作中，弗雷格继续给出了他对“…的数”（number of）的著名阐明，将其视为一种概念的概念，并对当时受心理主义、经验主义或形式主义影响的同侪关于数的其他解释提出了强有力的批判。他在进行这一哲学阐明时，将技术细节保持在最低限度，展现出了一次力透纸背的哲学阐释之旅。

1.2.1 作为高阶概念的数字

弗雷格从未放弃过的核心洞见，最初在 § 46 中表达为：“…关于数的陈述的内容是对一个概念的断言。”为了说明这一点：假设某人说道

(ν) 2

(ν)显然是一个关于数的陈述。然而，当断言(ν)时，实际上说的是

(γ)

对弗雷格而言，(γ)是对“___是篮子里的苹果”这个概念的断言。它并不是对数2的断言，因为在(γ)中作为形容词出现的“两个”是可以避免的。我们可以重述(γ)为

(γ)

在提供一些关于数-抽象(number-abstraction)的符号的解释之后，我们将展示弗雷格在这里的观点如何可以变得严丝合缝且具有普遍适用。

在上述关于直线方向的简单示例中，抽象算子d()是一个函数记号，不约束任何变元。但在数的抽象方面，情况则稍有不同。这里的抽象算子#，意为“…的数”，可以以两种不同的方式应用。一方面，它可以作为一个函数符号：如果 F 是一个谓词（或一个二阶变元），那么#F就是一个单称词项，指称满足F的事物的数量（或在分配给二阶变元的外延中）。另一方面，算子#x可以应用于开语句Φ(x)，其中x是自由变元，从而约束变元x。由此形成的复合词项可读作“Φₛ的数”。

有了上述符号的解释，假设某人做出如下形式的关于数的陈述，其中#xFx是“Fs的数”的形式表达：

#xFx＝2.

那么根据弗雷格，这实际上是在断言

∃x∃y(x ≠ y∧Fx∧Fy∧∀z(Fz → (z＝x∨z＝y)))

在最后一个断言中，概念F 是除标准逻辑算子之外唯一的表达式。因此，该断言是关于概念F的。它是数感断言（numerosity assertion）的一般形式，不一定指称（refer to）或概括（generalize about）数。对于任意的n，相应逻辑形式将是：

∃x₁ . . . ∃xₙ(∧₁≤ᵢ≤ⱼ≤ₙxᵢ ≠ xⱼ ∧₁≤ᵢ≤ₙ Fxᵢ ∧ ∀z(Fz → ∨₁≤ᵢ≤ₙz＝xᵢ)).

当然（回到我们的例子，其中n=2），我们也可以从相反的逻辑角度考虑问题。如果首先做出数感断言，那么可以将此视为随后断言[公式]s的数量与2等同这一陈述的证成理由。

如果我们像弗雷格那样接受这种“切割”同一命题内容的两种不同方式，那么在任何足够丰富以能提供这两种表达式的语句中，我们都需要以下逻辑等价，用双向可推导符号⊣⊢表示：

xFx＝2：⊣⊢ ∃x∃y(x ≠ y∧Fx∧Fy∧∀z(Fz → (z＝x∨z＝y)))

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