逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-4)

从弗雷格的《概念文字》（Begriffsschrift）序言（第IX-X页）中可以清楚地看出，他与戴德金在方法论上有着同样的关切，而且他在设计他的概念文字时，他就已将最终对算术进行逻辑主义的处理纳入考虑。弗雷格区分了两类需要“确证”（Begründung）的真理：一类是可以纯粹逻辑地进行证明的；另一类则必须以经验事实（Erfahrungsthatsachen）作为支持。他试图探究在多大程度上人们可以仅通过基于超越所有特殊性的思维法则的推理来捕捉算术的本质（“durch Schlüsse allein …, nur gestützt auf die Gesetze des Denkens, die über allen Besonderheiten erhaben sind”）。他明确表示，他希望抓住序列中排序（ordering in a series）的根本概念，并从中推进到数的概念。接下来这句明确呼应了戴德金：

为了防止不知不觉间掺入一些直观的事物，一切都必须依赖于推理链的环环相扣。

Damit sich hierbei nicht unbemerkt etwas Anschauliches eindrängen könnte, musste Alles auf die Lückenlosigkeit der Schlusskette ankommen.

弗雷格强调，他关注的是揭示算术真理的分析性如何源自它们的证成。在《算术基础》(以下简称为《基础》，1884, Grundlagen der Arithmetik)的第3节中，他写道：

…“先天”与“后天”、“综合”与“分析”的区分…涉及…作出判断的证成。…当一个命题被称为…按照我的理解是“分析”的…它是关于最终根据的判断，基于这个根据的证成使其为真。

…问题于是变成…寻找命题的证明，并且一直追溯到原初真理。如果在进行这一过程中，我们只遇到了一般逻辑定律和定义，那么这个真理就是分析性的，但要记住，我们也必须考虑到任何定义的可接受性所依赖的所有命题…

由此可见，弗雷格对于分析的理解比康德的更为宽泛。康德要求概念包含必须在句子中显明，而不是要求句子作为结论，从逻辑或概念真实性自明的公理中逻辑推导得出，而这一过程可能包含不在所讨论句子中出现的表达式。正如我们在B16引文中看到的，康德并不认为“7+5=12”是一个分析真理。相比之下，弗雷格主义者能够利用数字（numerals）的内部结构，并援引加法的递归公理（这些公理本身也需要以逻辑主义的方式推导出来）。因此，对于弗雷格主义者来说，“7+5=12”是一个分析真理，尽管对于康德来说不是。用[公式]表示后继函数，康德的例子可以更详细地表达为

ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛₛ＋0＝ₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛₛ0，

这可以通过递归公理得到证明：

∀x(x＋0＝x)

∀x∀y(x＋sy＝s(x＋y))

后一个公理可以证成以下的传递：

ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛₛ＋0＝ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛₛ0)

＝ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛₛ0))

＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛₛ0)))

＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋ₛ0))))

＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋0)))))

现在前一个公理保证了：

ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0＋0)))))＝ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛ(ₛₛₛₛₛₛₛ0)))))

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