逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-3)

在那个时代，顶尖数学家们使得实数（和复数）算术的算术化蓬勃发展，而戴德金和弗雷格的共同贡献则代表了这一趋势的顶峰。这种趋势甚至更早地始于高斯（Gauss）和波尔查诺（Bolzano）作品。它在柯西（Cauchy）和魏尔施特拉斯（Weierstraß）的著作中日趋成熟，并成为西方关于数学本质的思想的主导范式。算术家们的核心思想是，算术和分析的概念和首要原则可以在知性的概念中找到（正如康德主义者可能会说的那样），独立于一个人对于任何空间或时间连续体的几何直观。算术和分析在其公理的来源和演绎发展上完全是概念性和逻辑性的。

现在我们依次考察戴德金和弗雷格。

1.1 戴德金

可以说，戴德金使算术化的潮流在逻辑主义中达到了顶峰。在为实分析提供基础时应避免所有几何内容的建议（或方法论格言的陈述）至少可以追溯到戴德金的《连续统和无理数》 (Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872)。这部作品出版较晚。它的突破性想法早在十四年前，也就是 1858 年就出现了。在第 3-4 页，戴德金以一种引人入胜且具有启发性的方式写下了他在 1858 年秋天为提供“算术（即实分析）的一个真正科学的基础”（eine wirklich wissenschaftliche Begründung der Arithmetik）而进行的早期奋斗。

很明显，戴德金的写作依据这样一种假定——假设它如此普遍，以至于不需要任何正当性论证——即在建立实数理论时，人们根本不应该求助于几何的直觉或第一原则。戴德金表示，这一假定“没有人会否认”。戴德金试图“为无穷小分析原则建立一个纯粹算术的且完全严格的基础”。

这一假定在戴德金的后期著作《什么是数且它们应当是什么？》（Was sind und was sollen die Zahlen?, 1988）中得到了进一步的强调，它与早期著作一样，出版时间比它本来可以（或应该）晚得多。在第一版的序言中（Dedekind 1996b：790-1），戴德金写道：

在谈到算术（代数、分析）仅仅是逻辑的一部分时，我的意思是我认为数-概念完全独立于空间和时间的观念或直观——我宁愿认为它是纯粹思维法则的直接产物…只有通过建立数的科学的纯粹逻辑过程，并以此获得连续的数-域时，我们才能通过将空间和时间的观念与我们大脑中创立的数域联系起来，准确地研究空间和时间的观念。

我们再次看到了这一假定的作用：在为实数理论奠定基础时，必须避免诉诸几何直观。探究这样的假定如何变得如此普遍，以及它起源于谁的著作，是本研究范围之外的话题。

1.2 弗雷格

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