逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-2)

康德认为算术和（欧式）几何都是先天综合的，对他来说，就像形而上学一样。实际上，这是为了说明数学和形而上学的特殊地位，使后者享有前者的崇高地位。对于康德来说，数学和形而上学都提供了对实在本质的丰富见解（它们是综合的）；然而，尽管如此，理性智性（the rational intellect）不需要感官经验来获得这样的见解（它们是先天的）。根据康德的说法，即使是简单的算术计算陈述也是综合的，更不用说那些涉及到最自然数量化的陈述。以下是他在《纯粹理性批判》B16中对这个问题的表述：

事实上，最初我们可能假定命题7+5=12是一个纯粹的分析命题，并且是从7和5的和这一概念中通过矛盾律推出来的。但是如果我们更加仔细地考察，我们便会发现7和5的和这一概念除了将两个数合二为一之外并不包含任何内容，并且在此没有任何考虑关于什么数使两者组合起来。12的概念绝非仅仅在考虑7和5的结合时就已经被想到的；只要我愿意，我可以分析我对一个可能总和的概念，但我永远不会在其中找到12。

康德对于概念包含（containment）的探索局限于那些他在相关命题的明确成分中所能找到的，而不受任何本身并不出现在命题中的相关概念的联系的影响。（我们注意到这一点是为了在适当时候与弗雷格对康德的分析真理的概念的修正进行对比。）对于康德来说，算术真理的先天特征并非源自（所讨论命题的）概念包含，而是源自对时间直观的纯粹形式，因为提供了一个无限序列的连续时刻。根据Michael Friedman，康德认为：

只有时间上连续和迭代的一般特征才能保证7和5的和的存在和唯一性...；只有时间连续性的无限性才能保证数序列的无穷性，等等...

同样，根据康德的说法，欧式几何的先天特征源自我们对空间直观的纯粹形式，这使得思想家（人们可能正确地认为）能够直观到空间中的直线是连续的。

对时间和空间直观的纯粹形式——分别为康德提供了算术和欧式几何的理论，并赋予它们两者先天特征。他们使直觉的时空的直观杂多（manifold）成为可能，反过来，通过运用知性概念（特别是实体和原因的概念）进行构建，使对在外部世界中的事物和事件的客观性知识成为可能。

那么，逻辑学家可以被视为采用了康德的区分，但将其应用到了截然不同的效果。他们的第一步是论证算术至少是分析的，而不是综合的。

逻辑主义在戴德金的著作中初露端倪，但实际上直到弗雷格的著作中才真正开花结果。在戴德金的著作中，这些想法以同时代数学界可以理解的形式呈现。尽管这些想法精确而严谨，但它们仍然以相对非形式的方式呈现。那时尚未有人提出足以形式化当时数学推理的形式逻辑演绎系统的想法；因此，戴德金时代的任何逻辑主义论点都不能用我们现在熟悉的方式来表述。当然，弗雷格的情况有所不同，因为他的最高成就是一个形式的逻辑演绎系统，逻辑主义论题最终可以通过借助该系统来表述。

现在，当人们将逻辑主义程序的详细执行归功于弗雷格时，我们不能忽视他一直坚称欧式几何的真理是先天综合的，并且以与算术真理完全不同的方式建立。因此，它们不受他的逻辑主义的约束。这就是为什么我们对逻辑主义的介绍性特征需要非常小心，因为它首先关注的是算术和实分析的真理。

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