逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-1)

逻辑主义是一种哲学的、基础的和基础主义的（foundationalist）学说，可以在数学的任何分支方面得到推进。传统上，逻辑主义特别关注算术和实分析。它有强些和弱些的版本。

逻辑主义的强版本认为，所选诸分支中的所有数学真理都形成了一种逻辑真理。相较之下，逻辑主义的弱版本仅认为所有定理（theorems）才是如此。（我们所说的“定理”是指在所讨论的数学分支内可证明的结果。）基础主义是针对逻辑学家重构的那部分数学。然而，这方面的成功与对数学的某些部分是不能如此重构的非基础主义（例如，融贯主义(coherentist)）观点是相容的。

两种版本的逻辑主义——强逻辑主义和弱逻辑主义——都坚称：

1. 构成这些数学分支主题的所有对象都是逻辑对象；

2. 逻辑——在逻辑学家必须定义的某种适当地普遍的且强有力的意义上——能够提供这些数学分支的原初概念的定义，允许人们在逻辑中推导出数学家的“第一原则”。（因此，所讨论的数学分支被还原为逻辑。）

对于接受康德的分析/综合（analytic-synthetic）真理区分的基础主义者来说，逻辑真理是分析真理的范例。它们的真仅凭借表达它们时所涉及的语言表达的意义；或者，用康德更喜欢的表述，凭借所涉及概念之间的内部关系。因此，任何数学分支的一个成功的逻辑主义还原都将表明其真（强版本）或其定理（弱版本）是分析的。

给定数学分支的成功的逻辑主义还原的另一个结果是，数学确定性（在该分支内）与逻辑真理的确定性有关。这同样适用于有关知识的必然和先天（a priori）特征。

直到 1930 年左右，逻辑主义学说以两种主要形式——弗雷格主义（Fregean）和罗素主义（Russellian）——受到拥护，此后逻辑主义开始衰落，这主要是由于哥德尔不完备性（Gödelian incompleteness）的发现，以及策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel set theory）的崛起，取代了罗素主义的类型论成为最有前途的数学基础理论。新逻辑主义随后复兴了逻辑主义的一些核心思想，在20世纪60年代中期出现了一点迹象，而更实质性的贡献则始于1980年代。

新逻辑主义者们的主要技术和哲学创新在于同弗雷格一样使用抽象原则（abstraction principle）来确保数（numbers）等事物作为逻辑对象的存在。一种受欢迎的抽象原则通常使得处于等价关系中的等价类的具体化。

弗雷格最喜欢的例子之一涉及线之间平行性的等价关系。相关的抽象是一条线的方向。因此，仅当两条线 l₂ 和 l₂ 平行时，它们具有相同的方向：

d(l₁ )＝d(l₂ ) ⇔ l₂|│l₂.

抽象算子 d() 表示的函数在这里作用于线，并生成方向（新的抽象对象）作为其值。请注意，抽象算子可以将变元作为参数。

新逻辑主义者将抽象算子描述为生成数作为它们的值。符号和方法的详细信息将在适当的时候展开。

逻辑主义的发展并没有出现任何明显的历史性趋势，即通过渐进的调整来处理偶尔出现的问题，同时保持朝着理想表述的相当稳定的轨迹。相反，就方法和材料而言，该学说的特点是突然变化，即使目标在这些变化中保持相对固定。随着下文对逻辑主义不同阶段的详述，我们将让将让变化的模式更加显明。

1 历史背景

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