逻辑主义与新逻辑主义（一） (13-11)

仍然遵循弗雷格的思路，我们可以定义Nx（“x 是自然数”）为：

0＝x∨successor*0x

弗雷格关注的关系Rxy 是 y 紧随 x 的关系。这进一步的优点在于这是一个函数，即一种多对一的关系。这使得弗雷格证明了后继的祖先关系是线性的：

∀x∀y∀z((successor*xy∧successor*xz) → (y＝z∨successor* yz∨successor*zy)).

这种对Nx 的定义确保了期望的结果：每个自然数都是从 0 开始通过有限多次的直接后继。祖先化捕捉到了“有限多”这一概念，而无需借助自然数的概念，并且实际上充当了定义自然数概念本身的独立的逻辑概念基础。还要注意，这本质上是一个二阶概念。

鉴于直接后继关系的函数性质，当m 是 n 的直接后继时，我们可以写作 m＝sn。弗雷格定义 Nx 的一个特别重要的后果是，它使人们能够证明作为纯逻辑结果的数学归纳原则：

∀F(F0 → (∀x((Nx∧Fx) → Fsx) → ∀z(Nz → Fz))).

因此，弗雷格还能够逻辑地推导出所有其它自然数的戴德金-皮亚诺公设（涉及名称 0 和后继函数记号s）。

其中最重要的公设是，每个自然数都有唯一的（直接）后继。为了完全一般地证明这一点，弗雷格当然要考虑到一个任意给定的自然数可能远远超过宇宙中任何物理对象的集族的大小。那么（对于给定的自然数 n），他可以借助什么概念，其基数将是 n 的后继？

他的回答被称为“弗雷格技巧”。所寻求的概念正是“successor*xn”，即“x 是在 n 之前或等于 n 的自然数”。一旦我们尝试计数，自然数会不断地产生更多的同类。这就是为什么它们是无限的。每个自然数都数着其在自然数系列中的所有前趋，这一想法在《基础》§ 82 中完全形成，并在《法则》第一卷的 §§ 114-119 中严格实行。

到《法则》时，弗雷格已经确定了一种用类-理论术语来解释基数，保留了上述考虑的结构。Fs的数（即所有 Fs 的类的基数）被识别为与所有 Fs 的类等数（即一一对应）的所有类的类。因此，所有 Fs 的类是其自身基数的成员。与所有 Fs 的类等数的任何类也是如此。因此，任何单成员类的基数是所有单成员类的类；任何双成员的类的基数是所有双成员类的类；依此类推。很容易看出，根据弗雷格对基数的类-理论定义，任何两个等数类具有同一个基数。数不是自有的（sui generis），而是某种特殊的类。详见哲学百科关于《弗雷格定理和算术基础》的词条。

1.2.5 罗素悖论

在现代逻辑的语言中，使用成员关系的二元谓词∈，弗雷格在《法则》中由基本法则 V 所承诺的朴素概括原则也可以表示为以下模式：

∃x∀y(y ∈ x ↔ Φy).

著名的罗素悖论随之而来。 证明：对于上述朴素概括表达式中的Φy，取 y ∉ y（非自我成员）。由此得到

∃x∀y(y ∈ x ↔ y ∉ y).

令r 为这样的 x。因此

∀y(y ∈ r ↔ y ∉ y).

但r 是这个概括范围内的一个对象。实例化 r，得到

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