数学哲学译文丨形式主义的两个教条（二） (7-1)

9.8 没有教条的形式主义

集合论有多个模型与其说是斯科伦认为的集合论的否定性质, 不如说是集合论丰富性的体现. 而且, 无论选择集合论的哪个模型, 在该模型上都能构建出相互之间有细微但又决定性的区别的数学大厦, 观察不同模型上构建的数学大厦的差异, 成为了解数学世界的重要方法之一. 集合论的飘忽不定否决了素朴意义上集合论对数学的奠基, 但这不是作为数学大厦基础的瑕疵, 而是通向素朴感觉无法抵达的未知世界的入口[41].

科恩通过构造集合论的各种模型, 证明了连续统假设和选择公理独立于 Zermelo-Fraenkel 集合论, 这正是产生这种世界观的契机. 而这个科恩的结果, 也可能是通过摆脱哲学的束缚, 将谓词逻辑视为「关系代数学」而得到的, 科恩的结果可能促进了「关系代数学」这种思路的传播.

由于不完备定理以及科恩的结果, 在集合论中, 一种在数学上现实、在哲学上虚无的思想流行开来: 既然我们最终无法抵达真理, 那么集合论作为数学有趣才是最重要的, 作为数学有趣就足够了. 这种「作为数学的数学基础论」思路的尖锐表现, 在于从数学活动本身来寻求集合论的存在意义, 可以称之为集合论的数学实用主义[42]. 另一方面, 在集合论中发现独立命题, 也产生了源自哥德尔的思想: 公理的正当性应该根据它带来什么来判断, 而不是根据它是否为真. 这种公理化方法产生的思想, 是试图用形式主义来为数学实在论辩护, 也可以称之为集合论的形式主义实用主义[43].

这两种实用主义可以共存, 但基本上是相互独立的. 而且, 对于这两种实用主义的正当性, 可能存在各种看法. 无论如何, 这两种实用主义都不是数学基础问题的最终答案[44]. 这两种实用主义不仅在数学上, 而且在哲学上都是向前迈进的基石, 正是为了向前迈进, 我们才需要理解这两种实用主义本身, 以及产生这两种实用主义的形式主义.

有两种典型的观点否定作为数学基础的形式主义. 一种观点认为, 现在形式主义不应该作为讨论数学基础的基本框架而受到重视, 而应该因为产生了新的有趣的数学对象这一事实而受到评价. 这是以数学基础论作为数学这一口号为代表的观点. 另一种观点主张, 我们奉行形式主义作为数学基础, 抱持了100年错误的数学观, 现在是时候接受这一控诉了. 这是寻求形式主义替代框架的人的观点. 这两种观点尖锐对立, 甚至敌对, 但它们的共同点是拒绝形式主义作为数学基础, 而且不一定否定形式主义的两个教条.

如果对支撑形式主义作为数学基础的两个教条缺乏认识和防备, 那么即使盲目地否定形式主义, 形式主义的碎片也会残存在数学观的各个角落. 全面拒绝与不加反思的肯定一样, 都是放弃思考, 缺乏语言, 也缺乏想象力. 如果没有使形式主义的两个教条相对化的语言, 就无法从形式主义的数学观中解放出来. 作为数学的数学基础论, 以及讨论数学基础的新框架, 需要的不是拒绝形式主义作为数学基础, 而是理解形式主义. 而这种理解, 是通过从形式主义的两个教条中获得自由而成为可能的.

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