SEP丨集合论：早期发展 (11-9)

选择公理长时间以来是一个有争议的公理。一方面，它在数学中被广泛使用，实际上，它是许多重要的分析定理的关键（这随着像谢尔宾斯基[1918]这样的作品逐渐清晰）。另一方面，它有一些相当不直观的后果，如Banach-Tarski悖论，它说单位球可以被分割成有限多个“片段”（子集），然后可以重新排列形成两个单位球（参见Tomkowicz & Wagon [2019]）。反对这一公理的理由来自于它断言存在无法明确定义的集合。在1920年代和1930年代，每当一个定理依赖于这个公理时，都存在明确提及它的惯例。这一做法只在哥德尔讨论的相对一致性证明之后才停止。

围绕他的良序定理的激烈争论，以及数学基础提出的最有趣和最困难的问题，促使策梅洛专注于公理化集合论。由于他深刻的分析，1908年他发表了自己的公理系统，展示了它如何阻止已知的悖论，同时又允许对基数和序数理论进行巧妙的发展。然而，这是条目“策梅洛的集合论公理化”的主题；另外，关于策梅洛的生平和工作，参见Ebbinghaus 2015。

4. 从策梅洛到哥德尔

在1900年至1930年的时期内，“集合论”这一术语仍然被理解为包括拓扑学和函数论的主题。尽管康托尔、戴德金和策梅洛已经把重点转移到纯集合论上，但对于广大数学家来说，这仍将是一个漫长的过程。因此，在1897年的第一届国际数学家大会上，哈达马德和赫尔维茨通过主题演讲为集合论辩护，基于其对分析学的重要性。大约在1900年，受到分析学主题的启发，三位法国专家进行了重要的工作：博雷尔[1898]、贝尔[1899]和勒贝格[1902][1905]。他们的工作开创了描述集合论的发展，通过扩展康托尔对可定义的实数集合的研究（在其中他已经证明了连续统假设对闭集是有效的）。他们引入了博雷尔集的层次结构、贝尔函数的层次结构，以及勒贝格测度的概念——现代分析学的一个关键概念。

描述集合论（DST）是对某些类型的可定义实数集合的研究，这些集合是通过像补集或投影这样的众所周知的操作从简单类型（如开集和闭集）获得的。博雷尔集是第一层次的可定义集合，由埃米尔·博雷尔在1898年的书中引入；它们是通过对开集进行可数并和补集操作的迭代应用获得的。1905年，勒贝格在一篇开创性的回忆录中研究了博雷尔集，展示了它们的层次结构对所有可数序数都有等级，并分析了贝尔函数作为博雷尔集的对应物。描述集合论的主要目标是找到所有这类可定义集合共有的结构属性：例如，博雷尔集被证明具有完美集属性（如果是不可数的，它们有一个完美子集），因此符合连续统假设（CH）。这一结果是由豪斯多夫和亚历山德罗夫在1916年独立建立的。DST中研究的其他重要“规则性属性”包括勒贝格可测量性，以及所谓的贝尔属性（与所谓的稀疏集或第一类集不同的开集）。

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