SEP丨集合论：早期发展 (11-8)

承认任意子集的想法是康托尔和戴德金的深刻灵感之一，但他们都没有对其进行主题化。（在这里，他们对分析的现代理解扮演了一个关键但隐含的背景角色，因为他们在狄利克雷——黎曼传统的“任意”函数内工作。）至于现在著名的迭代概念，其中有一些元素（特别是在戴德金的工作中，他的数字系统的迭代发展，以及他对“系统”和“事物”的看法），但在许多相关作者中显然缺失。典型地，例如，康托尔没有迭代集合形成过程：他倾向于考虑同质元素的集合，这些元素被认为属于“某种概念领域”（无论是数字，还是点，或函数，甚至是物理粒子——但不混杂）。迭代概念首次由库尔特·哥德尔在[1933年]提出，与几年前冯·诺伊曼和策梅洛的技术工作有关；哥德尔在他关于康托尔连续统问题的著名论文中坚持这一想法。这只是在大量集合论已经发展和完全系统化之后才出现的。

这种观点的多样性极大地增加了总体的混乱，但还有更多。除了上述的集合论悖论（正如我们所说），“逻辑”悖论的列表还包括了一系列进一步的悖论（后来称为“语义”悖论）。其中包括由罗素、理查德、康尼格、贝里、格雷林等人引起的悖论，以及古老的爱比门尼德斯的谎言悖论。对损害的诊断和提出的治疗方法极其多样化。像罗素这样的作者认为，找到一个新的逻辑系统来解决所有悖论至关重要。这使他进入了构成《数学原理》（3卷，怀特海德和罗素，1910-1913）基础的分支类型理论。其他作者，如策梅洛，认为大多数悖论一旦在一个受限的公理系统内工作就会消失。他们专注于“集合论”悖论（正如我们在上面所做的），并被引导寻找集合论的公理系统。

更重要的是，康托尔留下的问题和希尔伯特在他1900年的第一个问题中强调的问题引起了热烈的争论。在1904年海德堡的国际数学家大会上，朱拉·康尼格提出了一个非常详细的证明，表明连续统的基数不能是康托尔的任何阿列夫。他的证明之所以有缺陷，是因为他依赖了之前由费利克斯·伯恩斯坦，“康托尔和希尔伯特的学生”“证明”的一个结果。费利克斯·豪斯多夫花了几个月的时间确定了这个缺陷，并通过正确陈述伯恩斯坦结果的特殊条件来纠正它（参见豪斯多夫2001年，第1卷）。一旦得到纠正，康尼格的定理成为限制连续统问题可能解决方案的非常少数结果之一，例如，暗示cαrd(R) 不等于 ℵω 。与此同时，策梅洛能够使用选择公理证明每个集合都可以良序[1904年]。在接下来的一年里，德国、法国、意大利和英国的杰出数学家讨论了选择公理及其可接受性。

选择公理声明：对于每个非空集合的集合A ，存在一个集合，它与 A 中的每个集合恰好有一个共同元素。这开启了一个时代，在这个时代里，选择公理被非常小心地作为一个可疑的假设对待（参见Moore 1982的重要研究）。这是具有讽刺意味的，因为，在所有常用的集合论原则中，选择公理是唯一一个明确强制存在某些任意子集的原则。但是，重要的是，这个想法在激发康托尔和戴德金的动机方面是多么重要，以及它与经典分析是多么纠缠不清，无限的任意子集被许多其他作者所拒绝。在接下来的时期，最有影响力的一些人中，应该强调罗素、赫尔曼·魏尔和当然还有布劳威尔的名字。

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