SEP丨集合论：早期发展 (11-10)

当时同样关键的是对分析集的研究，即博雷尔集的连续像，或等价地，博雷尔集的投影。年轻的俄罗斯数学家米哈伊尔·苏斯林在意识到博雷尔集的投影通常不是博雷尔集后，发现了勒贝格1905年回忆录中的一个错误[Suslin 1917]。然而，他能够证明，分析集也具有完美集属性，从而验证了CH。到了1923年，尼古拉·卢辛和瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基正在研究共析集，这将引导他们到一个新的投影集层次结构，从分析集(Σ¹₁) 开始，它们的补集（共析集， Π¹₁ 集），这些最后的投影 (Σ¹₂) ，它们的补集 (Π¹₂) ，等等。在1920年代，主要是围绕谢尔宾斯基和卢辛及其学生的俄罗斯数学学派的波兰数学家们对这些新类型的集合进行了大量工作。谢尔宾斯基获得的一个关键结果是，每个 [公式] 集是 [公式] 个博雷尔集的并集（对 [公式] 集也是如此），但这种传统研究在大约1940年后停滞了（见Kanamori [1995]）。

不久，卢辛、谢尔宾斯基及其同事们在他们的工作中遇到了极大的困难。卢辛非常绝望，以至于在1925年的一篇论文中得出了“完全出乎意料”的结论：“人们不知道，也永远无法知道”投影集是否具有所期望的规则性属性（引自Kanamori 1995: 250）。鉴于后来的发展，这些评论在方法论和哲学问题上引起的困难非常有趣，这些问题是由这些较新的假设提出的，即支持它们的证据类型的问题。

卢辛在他1930年的书《关于分析集合的课程》（巴黎，Gauthier-Villars）中总结了艺术的现状，这本书在未来几年将成为关键参考。自此以后，将DST的结果呈现在ω空间的无限自然数序列上，这已经成为惯例，实际上这是由勒内·贝尔在1909年发表的一篇论文中引入的。贝尔空间赋予了一定的拓扑，使其与无理数集同胚，并被专家认为是“集合论研究的最基本对象”之一，仅次于自然数集[Moschovakis 1994, 135]。

这一系列关于DST的工作必须被视为集合论对分析学和拓扑学所做的最重要贡献之一。但是，最初试图证明连续统假设的尝试未能达到这一目标。很快就使用选择公理证明了存在非勒贝格可测量的实数集（Vitali 1905），以及不存在完美子集的不可数实数集（Bernstein 1908）。这些结果清楚地表明，通过专注于可定义和“行为良好”的实数集，无法达到CH的目标。

此外，随着哥德尔大约在1940年（以及1960年代的强制方法）的工作，研究为何在1920年代和30年代停滞不前变得清晰：基本的新独立性结果显示，苏斯林（分析集的完备集性质）、谢尔宾斯基（Σ¹₂ 集是 ℵ1 个博雷尔集的并集）和其他一些人所建立的定理是基于ZFC公理系统的最佳可能结果。这在哲学上很重要：已经对从开集（或闭集）通过补集、可数并集和投影可定义的集合世界的探索足以达到ZFC系统的极限。因此需要新的公理，这是哥德尔在二战后强调的[Gödel 1947]。

让我们现在转向康托尔的另一个主要遗产，超限数的研究。到了1908年，豪斯多夫正在研究不可数的序类型，并引入了广义连续统假设（2ℵα＝ℵα₊₁ ）。他还是第一个考虑“过分”的基数可能性的人，即弱不可达基数，即不是后继的正则基数（如果将 α 分解为较小的基数之和需要 α 个这样的数，则称基数 α 为正则的）。几年后，在1910年代初，保罗·马洛在研究这类大基数的层次结构方面的工作开创了集合论的一个中心领域；他通过使用涉及静止子集概念的某种操作获得了一系列不可达基数；它们被称为马洛基数。但是，大基数的研究发展缓慢。与此同时，豪斯多夫的教科书《集合论基础》（1914）引导了两代数学家进入集合论和一般拓扑学。

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