SEP丨集合论：早期发展 (11-6)

然而，正如我们之前所说，对集合论、无穷方法有相当多的批评。早在1870年，克罗内克就开始发表具有构造主义倾向的批评性言论，许多年后，这些言论会被布劳威尔或维特根斯坦等杰出思想家所回响。克罗内克的批评方向是放弃实数系统和经典分析，转而支持某种更严格形式的分析——二十世纪的例子包括预言性分析（H. Weyl基于庞加莱的基本概念，参见Feferman 1988）和直觉主义分析（布劳威尔）。即使是魏尔斯特拉斯也有异议（至少在1874年），反对区分无穷大大小的想法，尽管面对康托尔的证明。例子比比皆是，因此在1900年代，许多数学家对集合论的关键思想和方法表示怀疑。一个典型案例是E. Borel，在引入康托尔的思想到法国后[1898]，他对集合论的怀疑日益增加（他与贝尔、勒贝格、阿达马在1905年交换的五封信已经变得很有名；参见Ewald [1996, vol. 2]）。但还有像庞加莱、魏尔、斯科勒姆等人的案例。在哲学家中，最著名的例子是维特根斯坦，他谴责集合论建立在虚构符号的“胡说”上，暗示了“错误的意象”等等。

3. 批判时期

在十九世纪末，普遍的观点是纯数学不过是算术的一种复杂形式。因此，人们常常谈论数学的“算术化”，以及它是如何带来最高标准的严谨性的。随着戴德金和希尔伯特，这种观点导致了将所有纯数学基于集合论的想法。在提出这种观点的过程中最困难的步骤是建立实数的理论，以及将自然数归约为集合论。康托尔和戴德金的工作解决了这两个问题。但正当数学家们庆祝“完全的严谨性”终于达成时，集合论的基础出现了严重问题。康托尔首先，然后是罗素，发现了集合论中的悖论。

康托尔是通过引入超限数的“概念领域”而被引向悖论的。每个超限序数是其前驱集的序类型；例如，ω 是 {0，1，2，3，. . .} 的序类型， ω＋2 是 {0，1，2，3，. . .，ω，ω＋1} 的序类型。因此，序数系列的每个初始段都对应一个立即更大的序数。现在，“所有”超限序数的“整个系列”将形成一个良序集，对应于它将有一个新的序数。这是不可接受的，因为这个序数 ο 必须大于“整个系列”的所有成员，特别是 ο＜ο 。这通常被称为Burali-Forti悖论，或序数悖论（尽管Burali-Forti本人未能清楚地阐述它，参见Moore & Garciadiego 1981）。

尽管康托尔可能早在1883年，就在引入超限序数之后立即发现了这个悖论（支持这一想法的论据参见Purkert & Ilgauds 1987和Tait 2000），但证据清楚地表明，直到1896/97年他才发现这个悖论性论证并意识到其含义。到那时，他还能够利用康托尔定理得出康托尔悖论，或阿列夫悖论：如果存在“所有”基数（阿列夫）的“集合”，康托尔定理应用于它将给出一个新的阿列夫ℵ ，使得 ℵ＜ℵ 。这位伟大的集合论家非常清楚地意识到，这些悖论对弗雷格和戴德金所青睐的“逻辑”方法来说是致命打击。康托尔强调，他的观点与戴德金的“完全相反”，特别是对他的“天真假设，即所有定义良好的集合或系统也是‘一致系统’”（参见1987年给希尔伯特的信，Purkert & Ilgauds 1987: 154）。（与常常被声称的相反，康托尔在1895年论文中对集合的模糊定义，意图与逻辑主义者对集合的理解“完全相反”——经常被称为“朴素”集合论，更恰当地说，应该称为集合的二分法概念，遵循哥德尔的建议。）

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