SEP丨集合论：早期发展 (11-5)

还要注意，如果连续统假设为真，那么实数集R 确实可以被良好排序。康托尔非常坚定这一观点，以至于他将每个集合都可以良好排序的进一步假设呈现为“一条基本且重大的思维定律”。几年后，希尔伯特将连续统假设和良序问题作为他著名的“数学问题”清单中的问题1引起了注意。这样做是强调集合论对数学未来的重要性以及其新方法和问题的成果性的一种聪明方式。

在1895年和1897年，康托尔发表了他的最后两篇文章。这些文章是他关于超限数（基数和序数）及其理论，以及关于序类型和良序集的结果的有组织的呈现。然而，这些论文没有提出重大的新想法。不幸的是，康托尔对他准备的第三部分有所怀疑，这本应讨论与良序问题和悖论（见下文）有关的非常重要的问题。令人惊讶的是，康托尔也未能在1895/97年的论文中包括他几年前发表的一个定理，这个定理简称为康托尔定理：给定任何集合S ，存在另一个集合，其基数更大（这就是我们现在所说的幂集 P(S) ，康托尔使用的是所有形式为 f：S → {0，1} 的函数的集合，这是等价的）。在同一篇短论文（1892年）中，康托尔通过对角线方法展示了\(R\)是不可数的，这是一种他随后扩展用来证明康托尔定理的方法。（类似的论证形式早在P. du Bois-Reymond [1875年]的工作中出现，参见[Wang 1974, 570]和[Borel 1898], Note II等。）

与此同时，其他作者正在探索集合论为数学基础开辟的可能性。最重要的是戴德金在1888年的贡献，他深入介绍了自然数的理论。他提出了一些集合（和映射）理论的基本原则；给出了自然数系统的公理；证明了数学归纳法是有力的，递归定义是无瑕的；发展了算术的基本理论；引入了有限基数；并证明了他的公理系统是分类的。他的系统有四个公理。给定定义在S 上的函数 φ ，一个集合 N ⊆ S ，和一个特殊元素 1 ∈ N ，它们如下：

(α) ф(N) ⊂ N

(β) N＝фₒ{1}

(γ) 1 ∉ ф(N)

(δ) ф

条件（β）至关重要，因为它确保了自然数集的最小性，这解释了数学归纳法证明的有效性。N＝φₒ{1} 读作： N 是在函数 φ 下单元素集 {1} 的链，即 {1} 在函数 φ 下的最小闭包。一般来说，人们考虑在任意映射 γ 下集合 A 的链，记作 γₒ(A) ；在他的小册子中，戴德金发展了这样的链的有趣理论，这使他能够证明康托尔——伯恩斯坦定理。这一理论后来被策梅洛推广，并被斯科勒姆、库拉托夫斯基等人应用。

在接下来的几年里，朱塞佩·皮亚诺给出了自然数的更表面化（但也更有名）的处理，采用了逻辑的新符号语言，而戈特洛布·弗雷格则阐述了他自己的想法，然而这些想法却陷入了悖论。受集合论思维风格启发的一本重要书籍是希尔伯特的《几何学基础》（1899），它通过对几何系统的丰富研究，将“公理数学”推进了一步，这些研究是由关于他的公理独立性的问题所激发的。希尔伯特的书明确了与集合论的新方法相联系、正在形成的新公理方法论，并将其与源自射影几何的公理趋势结合起来。

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