SEP丨集合论：早期发展 (11-7)

康托尔认为他可以通过区分“一致多重性”或集合和“不一致多重性”来解决悖论问题。但是，在缺乏明确区分标准的情况下，这只是对问题的口头回答。意识到他的新想法存在缺陷，康托尔从未发表他一直在准备的最后一篇论文，在那篇论文中，他计划讨论悖论和良序问题（我们很清楚这篇未发表论文的内容，因为康托尔在与戴德金和希尔伯特的通信中讨论过；参见1932年给戴德金的信，Cantor或Ewald 1996: vol. 2）。康托尔提出了一个依赖于“Burali-Forti”序数悖论的论证，并旨在证明每个集合都可以良序。这个论证后来被英国数学家P.E.B. Jourdain重新发现，但因为它涉及“不一致多重性”（康托尔在上述信件中的术语），所以受到批评。

康托尔的悖论使希尔伯特和戴德金确信，关于集合论基础存在重要的疑问。希尔伯特提出了他自己的悖论（Peckhaus & Kahle 2002），并与哥廷根圈内的数学家讨论了这个问题。因此，恩斯特·策梅洛发现了“所有不属于自身的集合”的“集合”的悖论（Rang & Thomas 1981）。这也是伯特兰·罗素独立发现的，他是通过仔细研究康托尔定理得出的，这与罗素相信普遍集合的观念存在深刻冲突。一段时间后，在1902年6月，他将这个“矛盾”通报给了正在完成自己的算术逻辑基础的戈特洛布·弗雷格，通过一封著名的信[van Heijenoort 1967, 124]。弗雷格的反应非常清楚地表明了这个矛盾对逻辑主义计划的深远影响。“我能总是谈论一个类，一个概念的扩展吗？如果不能，我如何知道例外？”面对这个问题，“我看不出数学如何能被赋予科学基础，如何将数字视为逻辑对象”（弗雷格 1903: 253）。

弗雷格的《基本法则》第二卷的出版（1903年），尤其是罗素的《数学原理》（1903年）的工作，使数学界充分意识到集合论悖论的存在，以及它们的影响和重要性。有证据表明，直到那时，即使是希尔伯特和策梅洛也没有完全意识到损害的程度。值得注意的是，罗素-策梅洛悖论涉及非常基本的概念——否定和集合成员资格——这些概念广泛被视为纯逻辑的。根据理解原则（允许任何开放句子确定一个类），集合R＝{x：x ∉ x} 存在，但如果是这样， R ∈ R 当且仅当 R ∉ R 。这直接与弗雷格和罗素所青睐的原则相矛盾。

显然需要澄清集合论的基础，但总体情况并不使这项任务变得容易。不同的竞争观点差异很大。康托尔对集合论有一种形而上学的理解，尽管他对该领域有着最敏锐的观察，但他无法提供一个精确的基础。对他来说很清楚（正如恩斯特·施勒德在他的《逻辑代数讲义》，1891年，有点神秘地），必须拒绝弗雷格和戴德金所青睐的通用集合的想法。弗雷格和罗素基于理解原则，这被证明是矛盾的。戴德金避免了那个原则，但他假设绝对宇宙是一个集合，一个“事物”，在他的技术意义上是Gedankending；并且他将这个假设与任意子集的全面接受结合起来。

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