SEP丨集合论：早期发展 (11-4)

他对点集的研究使康托尔在1882年构想了超限数（参见Ferreirós 1999：267ff）。这是他研究的一个转折点，因为从那时起，他独立于与点集及其拓扑有关的更具体问题研究抽象集合论（直到1880年代中期，这些问题在他的议程中占据了突出位置）。随后，康托尔专注于超限基数和序数，以及独立于\(R\)的拓扑性质的一般序类型。

超限序数在1883年的一篇重要的数学哲学论文《一般多样性理论基础》中作为新的数字被引入，注意康托尔仍然使用黎曼的术语Mannigfaltigkeit（或‘多样性’）来表示集合。康托尔根据两个“生成原则”定义了它们：第一个（1）为任何给定的数字α 产生后继数 α＋1 ，而第二个（2）规定，在任何没有最后一个元素的数字序列之后，都有一个数字 b 紧随其后。因此，在所有有限数之后，通过（2），来到了第一个超限数 ω （读作：欧米伽）；

ω＋1，ω＋2，. . .，ω＋ω＝ω · 2，. . .，ω · n，ω · n＋1，. . .，ω²，ω²＋1，. . .，ωω，. . .

等等。每当出现没有最后元素的序列时，人们可以继续前进，并且可以说，通过（2）跳跃到更高的阶段。

这些新数字的引入，对于他的大多数同时代人来说似乎是无用的猜想，但对于康托尔来说，它们发挥了两个非常重要的功能。为此，他将超限序数分类如下：第一个“数字类”由有限序数组成，自然数集N ；第二个“数字类”由 ω 及其之后的所有数字（包括 ωω ，以及许多更多）组成，这些数字只有一个可数集的前驱。这个关键条件是由证明康托尔-本迪克森定理的问题所提示的（参见Ferreirós 1995）。基于此，康托尔能够建立结果，即“第二数字类”的基数大于\(N\)的基数；并且不存在中间基数。因此，如果你写 cαrd(N)＝ℵ₀ （读作：阿列夫零），他的定理为称呼“第二数字类”的基数为 ℵ₁ 提供了理由。

在第二数字类之后是“第三数字类”（所有超限序数，其前驱集的基数是ℵ₁ ；可以证明这个新数字类的基数是 ℵ₂ 。依此类推。超限序数的第一个功能，因此，是建立一个递增的超限基数的明确刻度。（上面使用的阿列夫符号直到1895年才由康托尔引入。）这使得能够更精确地表述连续统问题；康托尔的猜想成为了假设 cαrd(R)＝ℵ₁ 。此外，依靠超限序数，康托尔能够证明康托尔——本迪克松定理，完善了他在这些关键年份期间一直在阐述的关于点集的结果。康托尔——本迪克松定理声明： Rⁿ 的闭集（可推广到波兰空间）具有完备集性质，因此 Rⁿ 中的任何闭集 S 都可以唯一地表示为一个完备集 P 和一个可数集 R 的不相交并集。而且， P 是 Sα ，对于一个可数序数 α 。

研究超限序数使康托尔的注意力转向了有序集，特别是良序集。一个集合S 通过关系＜被良好排序，当且仅当＜是一个全序，并且 S 的每个子集在＜排序中都有一个最小元素。（实数在它们通常的顺序中不是良序的：只需考虑一个开区间。同时， N 是最简单的无限良序集。）康托尔认为，超限序数真正值得被称为数字，因为它们表达了任何可能良序集的“序类型”。还要注意，康托尔很容易指出如何重新排序自然数，使它们对应于序类型

ω＋1，ω＋2，. . .，ω＋ω＝ω · 2，. . .，ω · n，ω · n＋1，. . .，ω²，ω²＋1，. . .，ωω，. . .

等等。（例如，按照形式： 2，4，6，. . .，5，15，25，35，. . .，1，3，7，9，. . . 重新排序 N ，我们得到一个具有序类型 ω · 3 的集合。）

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