SEP丨集合论：早期发展 (11-3)

康托尔的导出集合特别有趣（关于这个想法在实分析中的背景，请见如Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999）。康托尔将实数的“概念范围”视为已知的，并考虑任意子集P ，他称之为‘点集’。当 r 的所有邻域都包含 P 的点时，实数 r 被称为 P 的极限点。这只有在 P 是无穷的情况下才会发生。借助于魏尔斯特拉斯的这个概念，康托尔继续定义了 P 的导出集合 P' ，作为 P 的所有极限点的集合。通常 P' 可能是无穷的，并且有自己的极限点（参见康托尔在Ewald [1996, 第2卷, 840ff]的论文，特别是p. 848）。因此，可以迭代该操作并获得更多的导出集合 P''，P''' . . . P⁽ⁿ⁾ . . . 很容易给出一个集合 P 的例子，该集合将产生对于所有有限 n 的非空导出集合 ᴘ⁽ⁿ⁾ 。（一个相当平凡的例子是 P＝Q[0，1] ，单位区间中的有理数集；在这种情况下， P'＝[0，1]＝P'' ）因此，可以将 ᴘ⁽∞⁾ 定义为所有有限 n 的 P(n) 组成的交集。这是康托尔第一次遇到超限迭代。

然后，在1873年末，发生了一个令人惊讶的发现，完全打开了超限领域。在与戴德金的通信中（参见Ewald 1996, 第2卷），康托尔提出了一个问题，即自然数的无穷集N 和实数的无穷集 R 是否可以一一对应。作为回应，戴德金提供了一个令人惊讶的证明，即所有代数数的集合 A 是可数的（即，存在与 N 一一对应的关系）。几天后，康托尔证明假设 R 是可数的会导致矛盾。为此，他采用了上述的波尔查诺-魏尔斯特拉斯完备性原理。因此，他已经证明了 R 中的元素比 N 、Q 中的元素要多，确切地说， R 的基数严格大于 N 的基数。

2. 巩固

集合论开始成为新的“现代”数学方法的一个基本组成部分。但这种观点受到了争议，其巩固过程相当漫长。戴德金的代数风格直到1890年代才开始找到追随者；大卫·希尔伯特就是其中之一。数学土壤在实函数领域更完善：意大利、德国、法国和英国的数学家在1880年代做出了贡献。而新的基础观点被皮亚诺及其追随者——在某种程度上是弗雷格、1890年代的希尔伯特，以及后来的罗素所接受。

与此同时，康托尔在1878年至1885年间发表了关键作品，帮助将集合论变成了数学的一个独立分支。让我们用A ≡ B 来表示两个集合 A，B 可以建立一一对应关系（具有相同的基数）。在证明了无理数可以与 R 建立一一对应关系之后，令人惊讶的是，康托尔在1878年猜想任何 R 的子集要么是可数的 (≡ N) ，要么是不可数的 R 。这是连续统假设的第一种也是最弱的形式。在接下来的几年里，康托尔探索了点集的世界，引入了几个重要的拓扑学概念（例如，完备集、闭集、孤集），并得出了如康托尔——本迪克松定理之类的结果。

一个点集P 是闭的当且仅当其派生集 P' ⊆ P ，点集 P 是完备的当且仅当 P＝P' 。康托尔——本迪克松定理声明，一个闭点集可以被分解为两个子集 R 和 S ，使得 R 是可数的， S 是完备的（实际上， S 是 P 的第 α 个导出集合，对于一个可数的序数 α 。因此，闭集被认为具有完备集性质。此外，康托尔能够证明完备集具有连续统的势（1884年）。这两个结果意味着连续统假设对所有闭点集都是有效的。许多年后，在1916年，帕维尔·亚历山德罗夫和费利克斯·豪斯多夫能够证明更广泛的类别——博雷尔集也具有完备集性质。

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