SEP丨集合论：早期发展 (11-2)

波尔查诺的案例表明，度量概念的解放（伴随着射影几何学、拓扑学的发展）使集合论的抽象观点成为可能起到了关键作用。伯恩哈德·黎曼在他著名的就职演讲《几何学的基础假设》（1854/1868a）中，提出了关于拓扑学、类意义上的集合/流形概念而构建所有数学领域的宏大想法。黎曼特别强调概念数学，尤其是在他对复分析的方法中显而易见（这再次深入到拓扑学）。给出最简单的例子，黎曼是狄利克雷观点的热情追随者，即函数必须被视为数值之间的任意对应，无论是否能够用公式表示；这意味着抛弃了函数被定义为解析表达式的时代。通过这种新的数学风格，以及通过他对集合的新形象和发展拓扑学的完整计划的愿景，黎曼对戴德金和康托尔都产生了关键影响（参见Ferreirós 1999）。

1868年至1872年的五年间，德国出现了集合论方案的激增，以至于我们可以将其视为集合论数学的诞生。黎曼的几何学讲座于1854年发表，戴德金于1868年出版，连同黎曼关于三角级数的论文（1854/1868b，提出了黎曼积分）。后者是深入实分析研究的起点，开始研究“严重”不连续的函数。年轻的格奥尔格·康托尔进入了这一领域，这引导他研究点集。1872年，康托尔引入了一个对点集的操作（见下文），不久他就在思考将该操作迭代到无穷甚至超穷的可能性：这是对超限领域的第一瞥。

与此同时，另一个重大发展由理查德·戴德金于1871年提出。在他关于代数数论的工作中，戴德金引入了一个本质上属于集合论的观点，定义了代数数的域和理想。这些想法以非常成熟的形式呈现，使用了集合操作和结构保持映射（参见Ferreirós 1999的相关段落：92–93；康托尔在他自己的集合论工作中大约在1880年使用了戴德金的术语[1999：204]）。考虑到给定代数数域中的整数环，戴德金定义了某些称为“理想”的子集，并将这些集合作为新对象进行操作。这个程序是他通往该主题的一般方法的关键。在其他作品中，他非常清晰和精确地处理了等价关系、划分集合、同态和自同态（关于等价关系历史的参考文献，参见Asghari ‎2018）。因此，许多二十世纪数学中常见的集合论计划都可以追溯到他的工作。几年后（在1888年），戴德金发表了一篇论文，介绍了集合论的基本元素，只是稍微更明确地说明了他自1871年以来一直在使用的关于集合和映射的操作。

次年，戴德金发表了一篇论文[1872]，在其中对实数集R 的结构进行了公理化分析。他将其定义为一个有序域，同时也是完备的（意味着所有在 R 上的戴德金分割对应于 R 中的一个元素）；该意义下的完备性可以推理出阿基米德公理。康托尔也在1872年提供了 R 的定义，使用有理数的柯西序列，这是对卡尔·魏尔斯特拉斯在他的讲座中提供的定义的一个优雅简化。魏尔斯特拉斯偏爱的完备性公理形式是波尔查诺原理，即 R 中的嵌套闭区间序列（一个序列，使得 [αₘ₊₁，bₘ₊₁] ⊂ [αₘ，bₘ]）“包含”至少一个实数（或者，正如我们所说，有一个非空交集）。

康托尔和戴德金对实数的定义隐含地依赖于集合论，并且可以上溯至幂集公理的假设。两者都将有理数集视为给定的，并且对于R 的定义依赖于某个有理数无穷集的全体（无论是柯西序列的全体，还是所有戴德金分割的全体）。随着这一点，对集合论的建设性批评开始出现，随着利奥波德·克罗内克开始对这种无限过程提出反对。同时， R 的拓扑学研究开始进行，特别是在魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔的工作中。集合论方法也应用在一些作者（例如，汉克尔、杜布瓦-雷蒙、H.J.S.史密斯、U.迪尼）的实分析和复分析领域工作中，同样地也出现于戴德金和韦伯合作开创的代数几何中。

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