SEP丨集合论：早期发展 (11-1)

原文： The Early Development of Set Theory

1. 兴起

集合概念至少对于训练有素的数学家来说看似非常简单，以至于难以正确判断和欣赏先驱者的贡献。他们付出大量精力的工作，数学界花了很长时间才接受，虽然对我们来说可能相当自明甚至琐碎。文献中普遍存在的三个历史误解应该在一开始就指出：

1. 并非所有人在康托尔之前都普遍拒绝实无穷。

2. 集合论观点并非仅仅源于分析学，而且还在代数、数论和几何学中出现。

3. 实际上，集合论数学的出现先于康托尔的关键贡献。

这些点在后面将变得清晰。

群组概念与计数一样古老，至少从“波尔菲利树”（公元3世纪）以来，关于类的逻辑思想就已经存在。因此，弄清楚集合概念的起源变得困难。但是，集合既不是日常意义上的群组，也不是19世纪中叶之前逻辑学家所说的“类”。关键缺失的元素是对象性——集合是一个数学对象，就像任何其他对象一样被操作（集合N 就像数字3一样是‘一个东西’）。为了澄清这一点，罗素作出了如下区分：多个东西的类概念（传统观念）和一个东西的类（集合）。

恩斯特·策梅洛，我们故事中的关键人物，说这个理论历史上是“由康托尔和戴德金创立的”[策梅洛1908，262]。这暗示了一个便利的实用标准：应该从那些对康托尔、戴德金和策梅洛的观念产生了重大影响的作者开始。大体上，这就是这里采用的标准。然而，每个规则都有例外，波尔查诺的案例既重要又富有启发性，尽管波尔查诺并没有对后来的作家产生重大影响。

19世纪德语区存在一部分提倡接受实无穷的知识趋势（例如，莱布尼茨思想的复兴）。尽管高斯警告说无穷只能是一种说法，一些次要人物和三个主要人物（波尔查诺、黎曼、戴德金）在康托尔之前完全接受了数学中的实无穷。这三位作者在推动数学思想的集合论表述方面活跃，其中戴德金在许多经典著作（1871、1872、1876/77、1888）中的贡献至关重要。

按时间顺序，伯纳德·波尔查诺是第一个，但他几乎没有影响力。他在逻辑和数学基础方面的高质量工作是众所周知的。一本名为《无穷的悖论》（Paradoxien des Unendlichen）的书在他去世后的1851年出版。这本书中波尔查诺详细论证了围绕无穷的一系列悖论在逻辑上是无害的，并为实无穷进行了有力的辩护。他提出了一个有趣的论证，试图证明无穷集合的存在，常与戴德金（1888）稍晚些的论证相比较。尽管他使用了不同种类的集合或类的复杂区分，波尔查诺清楚地认识到将两个无穷集合一一对应的可能性，就像人们可以轻松地做到的，例如，通过函数 5y＝12x 将区间 [0，5] 和 [0，12] 一一对应。然而，波尔查诺抵制了两个无穷集合“在其部分的多样性方面是相等的”这一结论[1851，30–31]。很可能，传统的度量观念在他的思维方式中仍然太有力，因此他错过了基数概念（然而，人们可以考虑非康托尔式的观点，参见Mancosu 2009）。

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