SEP丨集合论：早期发展 (11-11)

接下来进入“非常高”的无穷的关键步骤是在1930年完成的。强不可达基数的概念当时由谢尔宾斯基和塔斯基，以及策梅洛[1930]孤立出来。强不可达是一个正则基数α ，使得 2ˣ 小于 α ，当 x＜α 时。虽然弱不可达仅涉及对后继操作的闭包，强不可达涉及对幂集操作的更强的闭包概念。同年，在一篇关于ZFC模型的开创性论文中，策梅洛[1930]建立了不可数（强）不可达基数与某些“自然”ZFC模型之间的联系（在这项工作中，他假设幂集操作是完全确定的）。

同年，斯坦尼斯拉夫·乌拉姆由分析学（测度论）的考虑引出了一个将成为中心的概念：可测基数。结果表明，这样的基数，由测度论属性定义，必须是（强）不可达的。实际上，许多年后，汉夫在塔斯基早期工作的基础上证明了第一个不可达基数不是可测的，表明这些新基数甚至更加“过分”。可以看出，由谢尔宾斯基领导的波兰学派在两次世界大战之间的集合论发展中扮演了非常中心的角色。当在1960年代晚期明确了存在一个可测基数与哥德尔的可构造性公理（V＝L ，在类符号中）相矛盾时，可测基数特别受到关注。这再次证明了哥德尔的信念，表达在有时被称为“哥德尔的新公理计划”中。

集合论数学继续发展成为强大的公理化和结构化方法，这将主导20世纪的大部分时间。举几个例子，希尔伯特的早期公理化工作（例如，在他极有名的《几何学基础》中）是深刻的集合论性质；恩斯特·施泰尼茨在1910年发表了关于抽象域理论的研究，本质上使用了选择公理；大约在同一时间，希尔伯特、莫里斯·弗雷歇等人开始了函数空间的研究。在1920年代和30年代，第一本专门的数学杂志《数学基础》致力于当时理解的集合论（中心包括拓扑学和函数理论）。在这几十年里，结构代数成熟，抽象拓扑学逐渐成为一个独立的研究分支，集合论开始了其元理论转向。

从那时起，“集合论”通常被认为是数学逻辑的一个分支，研究超限集合，起源于康托尔的结果，即R 的基数大于 N 。但是，正如前面的讨论所示，集合论既是现代数学兴起的效果，也是其原因：这一起源的痕迹在其公理结构上留下了不可磨灭的印记。

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