实数理论 (8-7)

(1)[αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·；

(2)lim (bₙ – αₙ)＝0

n→∞

于是，对于任意ε＞0 ，存在正整数 N ，当 n＞N 时，有 |bₙ – αₙ|＜ε ，此时对于任意的 m＞n＞N ，有 αₙ ≤ αₘ ≤ bₘ ≤ bₙ ，此时有 |αₙ – αₘ| ≤ |bₙ – αₙ|＜ε，|bₙ – bₘ| ≤ |bₙ – αₙ|＜ε

由柯西收敛原理知道 {αₙ}，{bₙ} 都收敛. 又由于 lim(bₙ – αₙ)＝0 ，故存在实数 ξ 满足 n→∞

lim αₙ＝lim bₙ＝ξ ∈ [αₖ，bₖ]，(k＝1，2，3，· · ·)

n→∞ n→∞

2.5 闭区间套定理 ⇒ 有限覆盖定理 ⇒ 致密性原理

闭区间套定理 ⇒有限覆盖定理

设S＝[α，b]，开区间集 J 覆盖 S . 假设 [α，b] 不能被 J 中有限个区间覆盖，我们把 [α，b] 分为两个区间

α＋b α＋b

[α，───]，[───，b]，

2 2

其中至少有一个不能被 J 中有限个区间覆盖，记为 [α₁，b₁] .以此类推分下去得到一列闭区间 {[αₙ，bₙ]} ，其中每一个 [αₙ，bₙ] 都不能被 J 中有限个开区间覆盖，并且满足

(1)[αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·；

(2)lim (bₙ – αₙ)＝0 .

n→∞

由闭区间套定理知道存在ξ 使得：

lim αₙ＝lim bₙ＝ξ ∈ [αₖ，bₖ]，(k – 1，2，3，· · ·)

又由于 J 覆盖 [α，b] ，故在 J 中必然有一个开区间 (α，β) 使得 ξ ∈ (α，β) .

从而存在N ，对 n＞N 有 α＜αₙ＜bₙ＜β

即 [αₙ，bₙ] ⊆ (α，β) ，从而 [αₙ，bₙ] 可以被 J 中一个区间覆盖，矛盾. 故得证.

有限覆盖定理 ⇒ 致密性原理

设{xₙ} 是一个有界数列，即有实数 α，b 使 α ≤ x ≤ b(n ∈ ℕ*)

假设对于任意ξ ∈ [α，b] ，都有 εξ＞0 ，使在领域 (ξ – εξ，ξ＋εξ) 中只含有 {xₙ} 的有限项，于是我们得到一个开区间集

J＝ {(ξ – εξ，ξ＋εξ)|ξ ∈ [α，b]}

显然 J 是 [α，b] 的一个开覆盖，从而存在一个有限子覆盖

J₁＝ {(ξ₁ – εξ₁，ξ₁＋εξ₁)，· · ·，(ξₘ – εξₘ，ξₘ＋εξₘ)}

从而由 εξ 的选取知道，对于 i＝1，2，· · ·，m ，在开区间 (ξᵢ – εξᵢ，ξᵢ＋εξᵢ) 中只含有有限个 xₙ 中的项，从而存在正整数 Nᵢ ，满足对任意 n＞Nᵢ ，有 xₙ ∉ (ξᵢ – εξᵢ，ξᵢ＋εξᵢ) .

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