实数理论 (8-6)

设{xₙ} 是一个有界数列，即有实数 α，b 使得 α ≤ xₙ ≤ b. 把 [α，b] 等分成两个区间

α＋b α＋b

[α，───]，[───，b].

2 2

知道这两个区间中至少有一个含有 {xₙ} 中的无穷多项，任取一个记为 [α₁，b₁] .

以此类推，得到区间列{[αₙ，bₙ]} ，满足：

(1)[α₁，b₁] ⊇ [α₂，b₂] ⊇ · · · ⊇ [αₙ，bₙ] ⊇ · · ·；

b₁ – α₁

(2)bₙ – αₙ＝─── → 0(n → ∞) .

2ⁿ⁻¹

从而由区间套定理，存在唯一的ξ ∈ [α，b] ，使得 lim αₙ＝lim＝ξ .

n→∞ n→∞

下面在{xₙ} 中选出一个子列 {xₙₖ} 收敛到 ξ .

在[α₁，b₁] 中任取 {xₙ} 中的一项，记为 xₙ₁ . 由 [α₂，b₂] 中存在 {xₙ} 中的无穷多项，因此可以找到 n₂＞n₁ 使得 xₙ₂ ∈ [α₂，b₂] .

以此类推，可以找到一列正整数n₁＜n₂＜· · ·＜nₖ＜· · · ，使得 αₖ ≤ xₙₖ ≤ bₖ .

令k → ∞ 即得 lim xₙₖ＝ξ .

k→∞

致密性原理 ⇒ 柯西收敛原理

只证明充分性：

首先证明{xₙ} 是一个有界数列，条件知道对于 ε＝1 ，存在 N₀ ∈ ℕ* ，使得当 m，n＞N₀ 时，有 |xₙ – xₘ|＜1

特别地，取 m＝N₀＋1 ，有 |xₙ – xɴ₀₊₁＜1 ，从而有

|xₙ|＜|xɴ₀₊₁|＋1，∀n＞N₀

从而 {xₙ} 有界. 由致密性原理， {xₙ} 有收敛子列 {xₙₖ} . 设 lim xₙₖ＝α .

k→∞

对于任意ε＞0 存在正整数 K ，满足当 k＞K 时，有

|xₙₖ – α|＜ε

又对上面的 ε ，存在正整数 N ，满足当 m，n＞N 时，有 |xₙ – xₘ|＜ε

记 k₀＝max{K＋1，N＋1} ，则对 n＞N 时，有 nₖ₀ ≥ k₀＞N ，从而有 |xₙ – α| ≤ |xₙ – xₙₖ₀|＋|xₙₖ₀ – α|＜ε＋ε＝2ε 从而 lim xₙ＝α . n→∞

柯西收敛原理 ⇒ 闭区间套定理

设闭区间套{[αₙ，bₙ]} 满足：

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