实数理论 (8-5)

n→∞ n→∞

从而有对于任意的n ，满足 αₙ ≤ ξ ≤ bₙ . 故 ξ 为这一区间列的公共点.

若还存在ξ* ≠ ξ 为区间列的公共点，不妨设 ξ*＞ξ ，从而由 lim bₙ＝ξ

n→∞

知，存在 bₙ＜ξ* 从而导致矛盾，从而唯一性得证.

闭区间套定理 ⇒ 单调收敛定理

设S 是有上界的非空集合，不妨设 S 没有最大元.

任取一个α₁ ∈ S ，又设 b₁ 为 S 的一个上界，把闭区间 [α₁，b₁] 等分成两个区间

α₁＋b₁ α₁＋b₁

[α₁，───] 和 [───，b₁] .

2 2

α₁＋b₁

若[───] 是 S 的一个上界，则记

2

α₁＋b₁

[α₂，b₂]＝[α₁，───]，否则记

2

α₁＋b₁

[α₂，b₂]＝[───，b₁] .

2

无论是哪种情况，都满足 b₂ 是 S 的上界而 α₂ 不是. 以此类推得到一列闭区间 {[αₙ，bₙ]} 使得每一个 bₙ 都是 S 的上界而 αₙ 不是.

且这一列闭区间满足：

(1)[α₁，b₁] ⊇ [α₂，b₂] ⊇ · · · ⊇ [αₙ，bₙ] ⊇ · · · ；

(2) 对于任意给定的ε＞0 ，由阿基米德公理，都存在正整数 n 使得 nε＞b₁ – α₁ ，从而 bₙ – αₙ＝

↓

b₁ – α₁ b₁ – α₁

＝─── ≤ ───＜ε，

2ⁿ⁻¹ n

故区间长度收敛于 0.

则由区间套定理知道存在唯一的ξ 是区间列 {[αₙ，bₙ]} 的公共点.

下面先证明ξ 是 S 的一个上界，由于对于任意的 ε＞0 ，存在 bₙ＜ξ＋ε ，从而 ξ＋ε 为 S 的一个上界，从而对于任意的 x ∈ S ，有 x ≤ ξ＋ε ，从而由 ε 的任意性知 x ≤ ξ ，从而 ξ 为 S 的一个上界.

再证ξ – ε 不是上界，事实上对于任意给定的 ε＞0 ，存在正整数 n ，使得 bₙ – αₙ＜ε ，从而 αₙ＞bₙ – ε ≥ ξ – ε . 由于 αₙ 不是 S 的上界，故存在 x₀＞αₙ＞ξ – ε ，从而 ξ – ε 不是 S 的上界.

综上所述ξ＝sup S .

2.4 闭区间套定理⇒ 致密性原理 ⇒ 柯西收敛原理 ⇒ 闭区间套定理

闭区间套定理 ⇒ 致密性原理

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