实数理论 (8-4)

2

x*＋x₀

所以 ─── ∈ A.

2

x*＋x₀

从而由分割知道 ─── ≤ x*与 x*＜x₀ 矛盾， 2

2

从而 x* 为 A 的上界，即 x* ∈ B .

又有对于S 的任何上界 β ∈ B ，有 x*＜β ，从而知 x* 为 S 的上确界.

确界原理 ⇒ Dedekind 连续性公理

设(A，B) 为 ℝ 的任一分割，由确界原理知 A 有上确界 x* . 由定义知对任意 α ∈ A ，都有 α ≤ x* . 又由上确界的最小上界性与 B 中元素都是 A 的上界，从而知道对任意 b ∈ B ，都有 x* ≤ b .

若还有x₀ ∈ ℝ，x₀ ≠ x* ，使得对于任何 α ∈ A，b ∈ B 都有 α ≤ x₀ ≤ b . 不妨设 x₀＞x* ，于是

x*＋x⁰

x*＜────＜x₀

2

x*＋x₀

从而 ───

2

既不在 A 中也不在 B 中，与 (A，B) 为 ℝ 的分割矛盾，从而证明了唯一性.

2.3 确界原理⇒ 单调收敛定理 ⇒ 闭区间套定理 ⇒ 确界原理

确界原理 ⇒ 单调收敛定理

只证明单调递增有上界的情况：

设数列{xₙ} 递增且有上界，则集合 {xₙ│x ∈ ℕ*} 有上界，因而有上确界. 记 β＝sup{xₙ│n ∈ ℕ*} ，于是知对于任意的 n ∈ ℕ* ，有 xₙ ≤ β . 并且对任意 ε＞0 ，都存在 N ，使得 xɴ＞β – ε . 由于 xₙ 递增，从而当 n＞N 时，有

β – ε＜xɴ＜xₙ ≤ β

从而 |xₙ – β|＜ε . 由极限定义知 lim xₙ＝β . n→∞

单调收敛定理 ⇒ 闭区间套定理

设{[αₙ，bₙ]} 为一列闭区间，满足 [αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·，且 lim(bₙ – αₙ)＝0 .

n→∞

从而知道{αₙ} 单调递增有上界 b₁ ， {bₙ} 单调递增有下界 α₁ ，故 {αₙ}，{bₙ} 收敛. 且由于 lim (bₙ – αₙ)＝0

n→∞

，知道 lim αₙ＝lim bₙ＝ξ.

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