实数理论 (8-3)

有界无穷点集必有聚点.

数列{xₙ} 收敛的充分必要条件为：对于任意的 ε＞0 ，存在 N ∈ ℕ，使得当 m，n＞N 时，就有 |xₘ – xₙ|＜ε

1.7 有限覆盖定理

区间集的并集: 设 J 是一个区间集，即 J 中的每一个元素 l 都是一个区间，那么把 J 中所有区间合并成一个集合，记为 ∪J 或者 ∪{l|l ∈ J} .即满足

x ∈ ∪J ⇔ ∃l ∈ J，s.t. x ∈ l.

覆盖：设 S 是一个数集， J 是一个区间集，如果 S ⊆ ∪J ，我们就称区间集 J 是数集 S 的一个覆盖，或者说 J 覆盖 S .

进一步，如果J 是一个开区间集，即 J 中的区间都是开区间，我们称 J 是数集 S 的一个 开覆盖.

子覆盖: 设 J 是 S 的一个覆盖，如果 J 的一个子集 J₁ 仍然是 S 的一个覆盖，称 J₁ 是 J 的 子覆盖.

进一步，如果J₁ 是一个有穷集合，则称 J₁ 是 J 的 有限子覆盖.

有限覆盖定理：

闭区间的任意开覆盖都存在有限子覆盖.

我们选择的互推顺序如下：

第一段（上层）关系：

Dedekind连续性公理 柯西收敛原理

↕ ↙

↖

阿基米德原理 ↓ ↑

确界原理 ← 闭区间套定理 → 致密性原理 ↔ 聚点原理

第二段（下层）关系：

确界原理 闭区间套定理 致密性原理

↘ ↗ ↘ ↗

单调收敛定理 有限覆盖定理

注意：致密性原理 ↔ 聚点原理

2.2 Dedekind 连续性公理⇔ 确界原理

Dedekin 连续性公理 ⇒ 确界原理

设非空数集S 有上界 M ， B 为 S 的上界集，于是 B ≠ ∅ . 再令 A＝ℝ\B ，于是 A ≠ ∅ 且 (A，B) 为 ℝ 的一个分割.

从而由 Dedekind 连续性公理知有唯一的x* ，使对任何 α ∈ A，b ∈ B 都有

α ≤ x* ≤ b

若 x* 不是 S 的上界，那么存在 x₀ ∈ S 使得 x₀＞x* . 于是有

x*＋x₀

x*＜────＜x₀

2

x*＋x₀

从而由定义知道 ─── 不是 S 的上界，

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。