实数理论 (8-2)

则存在唯一的实数 ξ ，使得 ξ 是区间列 {[αₙ，bₙ]} 的唯一公共点.

注1: 若把区间套定理中的闭区间改成一列开区间或者无界区间，定理将不再成立.

注2: 区间套定理在直观上也是自明的，它和确界原理是可以相互证明的(但区间套定理需要加上阿基米德原理才能得到确界原理). 事实上，历史上曾经把它作为”几何学”的公理，用来刻画直线的完备性.

下面介绍阿基米德原理：

若α 与 b 都是正实数，则必存在 n ∈ ℕ*，使得 nα＞b .

由阿基米德原理可知，既没有最大的正有理数，也没有最小的正有理数.

阿基米德原理由确界原理的证明如下：

证明：假设阿基米德原理不成立，则存在 α＞0，b＞0 ，使对任何正整数 n ，有 nα ≤ b . 令 A＝{nα│n ∈ ℕ*} ，则 A 非空有上界，从而有上确界，记 α＝sup A .

因为α＞0 ，所以 α – α＜α . 由于 α – α 不是 A 的上界，故存在正整数 m ，使得 α – α＜mα ，于是 α＜(m＋1)α ，这与 α 是 A 的上界矛盾.故得证.

1.5 致密性定理

定理：若 lim xₙ＝α

n→∞

，则 {xₙ} 的任意子列 {xₙₖ} 收敛，并且极限也是 α .

定理：若 xₙ 是一个无界数列，则存在子列 xₙₖ → ∞ .

定理：设 {xₙ} 是一个数列， A 是一个实数. 则一下两个条件等价：

(1) 存在{xₙ} 的一个子列收敛到 A ;

(2)A 的任何邻域都含有 {xₙ} 的无穷多项.

极限点：若存在子列 {xₙₖ} 使得 lim xₙₖ＝x

k→∞

，则称 x 是数列 {xₙ} 的极限点.

我们知道收敛的数列一定是有界的，但是有界的数列是否存在收敛的子列呢，下面的定理给出了肯定的回答：

致密性定理：

任一有界数列必有收敛子列.

注: 致密性定理又被称为Bolzano-Weierstrass 定理.

聚点: 设点集 S ⊆ ℝ，α ∈ ℝ，如果 α 的任何空心邻域中都含有点集 S 中的点，则称 α 为集合 S 的聚点.

注: S 中所有聚点的集合称为S 的导集，记作S′.

设点集S ⊆ ℝ，α ∈ ℝ，以下命题是彼此等价的：

(1)α 为集 S 的聚点.

(2) α 的任何空心邻域内都有点集 S 中无穷多个点.

(3) 存在 {xₙ} ⊆ S，使得 xₙ ≠ α，n＝1，2，· · · ，且 lim xₙ＝α .

n→∞

(4) 存在 {xₙ} ⊆ S ，使得对任何两个不同的正整数 i，j ，有 xᵢ ≠ xⱼ ，且 lim xₙ＝α .

n→∞

聚点定则：

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