实数理论 (8-1)

最前的前言

1. 互推关系

Dedekind 连续性公理 ⇔ 确界原理(公理) ⇔ 单调收敛定理 ⇔ 闭区间套定理(+ 阿基米德原理) ⇔ 有限覆盖定理 ⇔ 致密性定理 ⇔ 柯西收敛原理 ⇔ 聚点原理

1.1 Dedekind 连续性公理

Dedekind 分割：A，B 是 R 的两个子集，满足 A∪B＝ℝ，A∩B＝∅，A ≠ ∅，B ≠ ∅ 且对任何 α ∈ A，b ∈ B 都有 α＜b ，则称 (A，B) 为 ℝ 的一个分割.

Dedekind 连续性公理：

对于ℝ 的任何分割，都存在唯一的 x* ∈ ℝ ，使对所有 α ∈ A 和 b ∈ B ，都有 α ≤ x* ≤ b .

1.2 确界原理

确界：

1 如果数集S 的上界集中有最小元，则称之为 S 的上确界，记为 sup S ;

2 如果数集S 的下界集中有最大元，则称之为 S 的下确界，记为 inf S .

注1：sup 是supremum 的缩写，inf 是infimum 的缩写.

注2：上确界的另一种翻译是least upper bound，下确界的另一种翻译是greatest lower bound. 这种翻译实

际上蕴含了它们实际上是最小上界和最大下界.

定理： β 是数集 S 的上确界的充分必要条件是：

1 对任意x ∈ S ，都有 x ≤ β ;

2 对任意ε＞0 ，都存在 x₀ ∈ S ，使得 x₀＞β–ε .

命题： β 是数集 S 的上确界的充分必要条件是：

1 对任意x ∈ S ，都有 x ≤ β ;

2 存在数列{xₙ} ⊆ S，使得 lim xₙ＝β .

n→∞

确界原理(此处作为公理)：

有上界的非空数集必有上确界.

注1: 这里选择确界原理当做公理，但实际上也可以选择其他理论作为公理.

注2: 某种约定有sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞.

注3：在确界原理的基础上我们容易得出：有下界的非空数集必有下确界.

注4：一个小命题：sup{|x − y| | x, y ∈ S} = sup S − inf S.

1.3 单调收敛定理

(1) 若数列{xₙ} 单调递增且有上界，则

lim xₙ＝sup{xₙ│x ∈ ℕ*}；

n→∞

(2) 若数列 [公式] 单调递减且有下界，则

lim xₙ＝inf{xₙ│x ∈ ℕ*}.

n→∞

1.4 区间套定理

设[αₙ，bₙ] 是一列闭区间，满足：

(1) [αₙ₊₁，bₙ₊₁] ⊆ [αₙ，bₙ]，n＝1，2，3，· · ·；

(2) lim (bₙ – αₙ)＝0 .

n→∞

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。