【数学与哲学论文】数学的进展（二） (7-1)

此时，我们再次地遇到了一个看上去不那么像公理的命题，PD，但它却能给我们带来一种符合期望的途径。但是这个案例的细节与 V ≠ L 的情况不同。PD，与 V ≠ L 不同，很难被以太弱而拒绝，因为它蕴含了整个投射集的理论。但是同时PD又太过于专业化；它对一系列集合提出了一个非常特殊的要求，而不是对整个集合论层级结构提出一个广泛的要求。我们再次为这种情况做一个类比，想象一个物理学家对地球附近的抛物线运动感兴趣，他为此提出了一个物理理论，断定只有在地球附近才会出现某种现象。这似乎是太过具有针对性，而PD的问题也是如此。一个公理应该是更普遍的，更基本的。

在 V ≠ L 的情况里，这个问题是通过Scott的定理解决的，因为ZFC+MC可以直接判定 V ≠ L 。鉴于MC蕴含了一些超出ZFC确定的集合的决定性，我们自然地猜测更大的大基数公理也能在这个新情况下有所帮助。为了了解接下来的内容，我们必须回到MC的情况。Scott的证明是通过构造一个从V到一个传递类M的非平凡初等嵌入来完成的；事实上，可测基数是这种嵌入移动的第一个序数。在这里，类M对长度为κ的序列封闭，其中κ是可测基数，但是在更长的序列下不是封闭的。因此，一种推广可测性的方法是假设这样一个嵌入到一个具有更强封闭条件的M中。最强的封闭条件是对所有序列都封闭，即要求M本身是V。那么是否存在一个非平凡的V到V的元素嵌入呢？

这个问题的回答是否定的。Kunen在(1971)中提供了这样一个初等嵌入与选择公理不相容的证明。在这个结果之后，集合论学家们提出了各种大基数公理，这些公理被设计成尽可能强大，同时又避免了Kunen的不相容性。1978年，Martin从这些公理中证明了Σ¹₂集合的决定性(Martin 1980)。这个结果有两个方面的意义：首先，Martin的假设与不相容的假设非常接近，以至于人们对它的一致性产生了非常严重的担忧；其次，如果需要最强的已知大基数公理来证明Σ¹₂集合的决定性，那么似乎没有希望证明所有n的Σ¹ₙ集合的决定性，即PD。第二个担忧在1984年被克服了，当时Woodin设计了一个更强的公理，介于Martin的假设和Kunen的不一致性之间，并从中证明了PD。但是第一个担忧，即一致性，却因此而加剧了。

当然，自30年代以来，也就是自哥德尔的第二不完备性定理以来，我们知道直接证明一致性是没有希望的。集合论学家的目标是接受一致性的理论，然而这只能以一种粗略的方式来实现。ZFC本身的一致性是有这各种保障，例如它不会产生朴素集合论中已知的悖论，集合的迭代图景提供了一个直观的模型，而几十年的深入研究也没有发现不一致性。假设ZFC的一致性，可以证明ZFC+V=L的一致性，但是在这种相对意义上，甚至不能证明任何大基数的一致性[8]。 对MC一致性的最初担忧得以缓解，是因为我们有MC的各种推论的相对一致性的证明，也是因为集合论共同体尝试证明它的不一致性却没有成功，以及由于ZFC+MC的类似L的内模型的发展（在这种内模型中，MC的不一致性会更有可能突出）。但是Woodin的假设显然是不同类型的，因为它的定义本身就是通过有意识地努力来接近不一致性而产生的！

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