【数学与哲学论文】数学的进展（二） (7-2)

基于这样的前提下，Martin和Steel的普遍结果可能不会让人感到意外。Mitchell、Dodd和Steel的工作，从一个方向，以及Foreman、Magidor、Shelah和Woodin的工作，从另一个方向，都将注意力集中在超紧基数（SC）上。超紧性是可测性的一般化：一个基数κ是λ-超紧的（对于λ＞κ），当且仅当存在一个从V到一个类模型M的非平凡初等嵌入，使得M在λ序列下封闭，并且κ是第一个移动的序数。因此，一个基数κ是可测的，如果它是κ-超紧的。最后，一个基数κ是超紧的，如果它对所有λ＞κ都是λ-超紧的。Martin和Steel成功证明了ZFC+SC能推论出PD（Martin and Steel (1988)， (1989)）。再一次，大基数的添加提供了一个具有合理期望后果的理论。

至此，ZFC+SC公理体系提供了一种有效的手段来实现对实数集的投射集的描述，但是它对这个目标有多少收获，它就必须在一致性上付出。当然，这在Scott的情况下也是成立的。我在前面提供了一些MC看起来一致的原因，但是这些原因并不能是百分百毋庸置疑的。如果ZFC+MC最终被证明是无可救药地不一致的[9]，那么Scott定理带来的数学进展就仅仅是一种幻觉。SC比MC强得多，虽然它似乎不像Woodin（或者Martin）的假设那样会引发不一致性，但是它还没有享受到MC的优势。事实上，ZFC+SC蕴含了PD，这恰恰表明了SC不可能有一个像MC那样简单的让人放心的模型。因此，在这种情况下，SC带来的数学进展最终被证明是虚假的风险也相应地更大。毫无疑问，随着进一步的研究，情况会变得更加明朗，但是现在，我认为仍然有理由合理地希望Martin和Steel的结果确实构成了重要的数学进展。尽管一致性的担忧仍然存在，但是ZFC+SC为一个提供了一个有关许多实数集的全面而详细的描述的理论提供了一个有前途的候选者；换句话说，它提供了实现集合论中心目标之一的有效手段。

综上所述，我阐述了集合论近期历史中的两个案例，并且声称我们有充分的理由相信这两个案例都是真正的数学进展。这个主张基于对数学进展的一种特定理解，即采用有效的手段来实现特定实践目标，它也同时基于对这些特定目标的定义，例如：（1）对科学带来有效贡献；（2）为数学提供基础；（3）作为集合论实践目标，为实数集的提供一套理论；（4）作为集合论公理化的目标，提供一致无矛盾的理论。这一切在原则上恐怕似乎相当平凡，尽管它们在细节上很有趣。但是我也不得不考虑，对于“数学进展”这样宽泛的概念做出的工作，可能就不可避免地会具有如此的特征。

参考文献

Bulloff, J. et al. (Eds.), Foundations of Mathematics. Berlin: Springer.

Gale, D. and Stewart, F. (1953). "Infinite games with perfect information." Contributions to the Theory of

Games. Annals of Mathematical Studies. Vol. 28: 254-66.

GOdel, K. (1938). "The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis."

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