【数学与哲学论文】数学的进展（一） (8-7)

鉴于这些根源，我认为将这些作为集合论实践的内在目标是合情合理的。我之前曾经论证过，集合论作为数学的一个分支，有着为经典数学提供基础的目标，但是我认为我们也必须承认，集合论作为一个有着自己议程的数学分支，有着提供对实数集的结构和多样性的全面分析的目标。这就是为什么可测基数的吸引力在Martin和Solovay的结果出现后大大增加。例如，Solovay在60年代末的定理（Solovay 1969）表明MC蕴含了所有Σ¹₂实数集都是Lebesgue可测的，从而提供了Lusin自20年代以来一直悬而未决的一个问题的解决方案。我接下来会讲到Martin的定理。

我们假设集合论实践的目标之一是提供一个关于实数集的理论，那么我们来考虑一下1980年的情况，这一年Moschovakis著的《描述集合论》出版了。届时Suslin和Lusin的开放问题已经被证明与ZFC独立，而基于进一步假设的两个竞争性的投射集理论也出现了。第一个理论是从ZFC+V=L推导出来的，它给出了以下的图景：存在一个非Lebesgue可测的Σ¹₂集合，以及一个没有完美子集的不可数Π¹₁集合。同时，ZFC+V=L也为Σ¹ₙ集合判定了一系列所谓的“结构性”属性。这些结果意料之中地与Solovay在ZFC+MC中证得的结果相矛盾：所有的Σ¹₂集合都是Lebesgue可测的，每一个不可数的Σ¹₂集合（因此，每一个Π¹₁集合）都有一个完美子集。但是ZFC+MC对于投影级结构的其余部分提供的图景就没那么完整：“存在一个Lebesgue不可测的Σ¹₃集合”，以及“存在一个没有完美子集的不可数Π¹₃集合"都不与它矛盾（Silver 1971a）。

第二个图景则是从一中完全不同类型的新假设中得出的。假设A是一个实数集（译者注：实数全集在此处理解为由无穷长的0-1序列构成的康托空间）。[6] 想象两个玩家I和II在一个游戏G(A)中轮流选择0和1。如果他们最终生成的无穷序列在A中，那么I赢；否则II赢。我们说A是决定的，如果I或者II在G(A)中有一个必胜策略。举一个简单的例子，如果A由所有以序列000110开头的实数构成，那么玩家II有一个获胜策略：总是选择1。（在第一轮游戏之后，生成的序列保证不在A中。）如果一个集合是确定的，那么它也有诸如Lebesgue可测性这样的规则性质，如果它是不可数的，那么它就有一个完美子集。另一方面，选择公理蕴含了一个非确定集合的存在；证明方法是通过一个熟悉的技巧，将潜在的策略用良序排列，然后在每一轮游戏中构造一个集合来挫败每一个策略。

鉴于并非所有的实数集都是决定的，我们自然而然地会问哪些是决定的。Gale和Stewart于1953年将这个概念引入了文献中，并且证明了所有的闭集（并且推论出开集）都是决定的。1955年、1964年和1972年，人们证明了各种各样的Borel集合的都是决定的，这个序列最终由Martin在1975年的证明达到了顶峰，他证明了所有的Borel集合都是决定的（见(Martin 1975)）。Martin还在(1979)中证明了MC蕴含了所有的Σ¹₂集合都是决定的；这个结果，连同Solovay的Lebesgue可测性结果，为MC在实数集的可定义集合上有重要的结果提供了基础。但是决定性证明在这一步之后便陷入了僵局，而同时决定性假设成为了主角。

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