【数学与哲学论文】数学的进展（一） (8-6)

这个故事还有很多可以讲的，但是我在这里对数学进展的第一个例子就此打住。我所要说的只是，1961年的Scott定理提供了一个数学上富有成效的方式，来得到一个合理的结论，即V ≠ L。我的第二个例子发生在同一条发展线上的大约25年后，我想到的是Martin和Steel在80年代中期证明的一个定理。为了能对这个结果的评估做好铺垫，我再次回到集合论的起源。

康托年轻时的研究，是从一个标准的分析问题开始的：什么时候实数到实数的三角函数表示是唯一的？许多前人都曾尝试过这个问题，但是没有成功，而康托尔的第一个结果就是提供了一个解决方案：如果表示收敛于每一个值，那么这个表示是唯一的。但是在分析中，人们也常常提出这种提出进一步的问题：如果在某些“特殊”的点上不收敛，那么表示是否仍然是唯一的？在努力为这个进一步的问题提供一个完全一般的答案时，康托尔发现自己面对着越来越复杂的实数集：首先是有限集；然后是只有一个聚点的无限集；然后是有有限多个聚点的无限集；然后是有无限多个聚点的无限集，其中聚点的集合也有一个聚点；等等。给定一个实数集A，它的聚点集A'被称为A的“导集”；如果一个实数集足够丰富，那么它的导集、它的导集的导集等等，都将是非空的。但是所有这些导集的交集呢？那个交集的导集呢？这些也会因为原始集合A的结构而不同。因此，康托尔对实数集的思考，导致他需要假定序数作为这些导出集的脚标。与此同时，关于“特殊”点集与所有实数集之间关系的问题，使得他需要比较简单的无限集（例如自然数集）的基数与实数集的基数，而这个研究的结果就是康托尔关于实数集不可数性的定理，这是超穷基数理论的开端。

从分析学到实数集的另一条道路则要从法国分析学家Baire、Borel、和Lebesgue开始。这其中的动机来自于推广函数概念时遇到的一种病态反例。Baire、Borel、Lebesgue三人尝试将这种混乱的情况进行分类。函数的分类很快就被归约为对集合的分类，因为例如函数的连续性被定义为原像是开集。[4] 所谓的Borel层级，就是从开集开始，然后允许通过取补集和可数并集获得的所有集合。尽管它们很复杂，但是Borel集合有许多所谓的正则性质；举两个例子，它们是Lebesgue可测的，它们有完美子集性质（即任何不可数的Borel集合都有一个与实数等势的有着规范结构的子集 [5]）。俄罗斯分析学家Lusin和Suslin很快就发展出了另一个复杂性层次，即Borel集合之上的投射层次。为了看清楚这一点，想象一个平面上的闭集（译者注：此处Maddy笔误了。平面上的闭集的投影仍然是Borel集。要真正地超越Borel集，我们要考虑平面上的Gδ集，或者说考虑一般Borel集的投影），然后将它投射到一个轴上；结果是一个Σ¹₁集。一个Π¹₁集是一个Σ¹₁集的补集；一个Σ¹₂集是一个Π¹₁集的投影；等等。事实证明，Borel集合就是那些既是Σ¹₁集又是Π¹₁集的集合，即Δ¹₁集合。人们很快就证明了Σ¹₁集和Π¹₁集都是Lebesgue可测的，而Σ¹₁集有完美子集性质（Lusin 1917）。但是既不知道Σ¹₂集的Lebesgue可测性，也不知道Π¹₁集的完美子集性质；直到20世纪20年代中期，也没有更多的进展。

从这段历史中我们可以看到，集合论起源于分析学，特别地，它起源于对实数集的分类和结构理论的努力。

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