【数学与哲学论文】数学的进展（一） (8-8)

“所有的实数集都是决定的这个假设”，即决定性公理或AD，最早是由Mycielski和Steinhaus在(1962)中考虑的。当然，鉴于AC蕴含了存在一个非决定集合，ZFC+AD是不一致的。现在我认为每个人都会承认，数学理论选择的一个工作原则是为了追求一致性的理论，但是各种历史案例，最著名的是微积分的早期几十年，证明了在缺乏一致性的情况下也可以实现其他数学目标。因此，我们应该注意到，公理集合论的情况在这方面可能是独一无二的：公理化的中心动机之一就是避免朴素集合论的不一致性。所以我认为我们必须承认，避免不一致理论的目标对于当代集合论来说是基本的。鉴于没有人准备放弃选择公理，ZFC+AD理论从来没有受到过严肃的考虑。

相比之下，我们考虑的是一类断言“许多相对简单的实数集都是决定的”的公理；例如，所有的投影集都是决定的（PD）[7]。这个假设提供了投射层次结构的V=L生成图景的替代品：V=L蕴含了非Lebesgue可测集合早至Σ¹₂层级就存在，而PD蕴含了所有投影集都是Lebesgue可测的；V=L提供了一个没有完美子集的不可数的Π¹₁集合，PD蕴含了所有不可数的投影集都有完美子集；V=L蕴含了Π¹₁的一类结构性质对于Σ¹ₙ集合和Π¹ₙ集合都成立，PD蕴含了这些结构性质对于奇数n的Π¹ₙ集合和偶数n的Σ¹ₙ集合都成立。这两个理论——ZFC+V=L和ZFC+PD——都提供了许多实数集的丰富而详细的描述，但是这两种描述是非常不同的。

就目前来说，我们的目标是提供一个关于实数集的描述，但是对于许多实数集，我们面临着两种不同的描述。幸运的是，在两者中选择其一并不困难。我们已经看到，V=L是一个应该被拒绝的假设，而MC有它自己的吸引力。PD现在呈现出一种扩展MC所带来的图景的方式，例如，不仅保证Σ¹₁集合是Lebesgue可测的（ZFC中可证），不仅保证Σ¹₂集合是Lebesgue可测的（ZFC+MC中可证），甚至所有的Σ¹ₙ集合都是Lebesgue可测的（ZFC+PD中可证）。同样，完美子集性质从Σ¹₁（ZFC中可证）被提升到Σ¹₂（ZFC+MC中可证），再到Σ¹ₙ（ZFC+PD中可证）。在这些选项中，毫无疑问，ZFC+PD是更好的选择。

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