【数学与哲学论文】数学的进展（一） (8-5)

现在假设我们在1960年就得出了这个结论。我们当然不会把V=L加入到公理列表中，但是我们想要超越这种简单的不可知论；我们想要否认V=L。我们可以通过把 V ≠ L 加入到公理中来实现这一点，但这是一个不太吸引人的选择。为什么？因为 V ≠ L 是没有信息量的；它告诉我们存在一个不可构造的集合，但是它对这个集合一无所知。正是因为它毫无信息量，所以它是一条相当弱的公理；ZFC留下的所有问题，通过添加V=L都得到了解决，但是通过否认V=L却没有一个问题得到解决。为了对这个选项有一个直观的感受，想象一个物理学家，他相信他的基本粒子列表——例如说a、b和c——是不完整的，他提出了新的物理理论——“存在一个基本粒子，它不是a、b或c”。这显然是不令人满意的。那么集合论学家该怎么办呢？

Scott就是在这时出场的。通过从可测基数公理证明 V ≠ L，他为ZFC+V=L这个不可行的选项提供了一个替代品，即ZFC+MC（即ZFC+“存在一个可测基数”）。这个新公理体系是否更好？我认为我们可以公平地说它是的。为了看到这一点，我们回想一下，康托的发明集合论时采用的一个基本方法就是假设无穷是一个已经完善了的过程；特别地，他假设了存在一个对象ω，它在所有有限序数之后，也假设存在一个ω₁在所有可数序数之后，等等。正是这种大胆的方法开创了我们现在所知的集合论；这个理论的种种成功用例又反过来佐证了它们的合理性。现在考虑康托这种基本方法的扩展：在由替换公理和幂集公理生成的所有序数之后，假设存在一个不可达基数κ；在由替换公理和幂集公理生成的所有大于κ的序数之后，假设存在第二个不可达基数；等等。显然，这个过程可以继续下去。当Ulam在1930年首次定义可测基数时，他证明了可测基数是不可达的；1960年，Tarski刚刚宣布了他的结果，即第一个可测基数以下有许多不可达基数。因此，MC呈现出一个很有力的候选公理的样子，它为集合论基本发展方针带来了一个受欢迎的扩展。

因此，我认为Scott的结果是数学进展的一个典范例子，理由如下：数学的一个非常一般的目标是为自然科学提供工具；经验表明，这样做的有效方法是尽可能不受限地提供各种各样的数学理论和结构；集合论的一个非常一般的目标是为数学提供库存的基础；为了做到这一点，集合论应该实现尽可能多的同构类型；ZFC+V=L在同构类型上是有缺陷的，因此应该被拒绝；Scott的定理表明，采用ZFC+MC是拒绝V=L的一种有吸引力的方式，有吸引力是因为MC是一条有前途的公理，它扩展了康托集合论最基本的方法。这个论证显然采用了我在开头勾勒的形式：数学上的进步是根据所涉及实践的目标和实现这些目标的有效手段来衡量的。

我此处想补充一点。在Scott定理之后的十年里，可测基数公理可以算得上是实现了它的潜力。例如，Solovay和Martin证明了MC蕴含了实数可定义集合的各种正则性质；在我第二个数学进展例子中，我将对这些结果做更多的阐述。此外，Scott定理的结论原本是“在可测基数κ上存在一个不可构造的测度”，这点也在接下来得到了改进，精确到了“存在一个不可构造的自然数集”（Rowbottom 1964），到存在一个特定的不可构造的自然数集，即0逻恽展：1966）。事实上，0#是一个哥德尔数的集合，它编码了一组描述L与V的不同之处的公式，提供了一个精确的关于L如何出错的丰富理论。此外，从Silver 1971和Kunen 1970为可测基数寻找类似L的内模型的研究开始，ZFC+MC理论的这种极其富有成效的发展到今天仍在继续。

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