【数学与哲学论文】数学的进展（一） (8-4)

在这些例子中，都是数学家们独立开发了大量的数学理论，这些理论可以说是被存放于数学仓库里；直到某一天，物理学家们需要数学工具，于是这些库存的数学理论被拿出来并且被用于一些令人惊叹的用途。考虑到数学对科学的有用性这一目标，也考虑到这种成功的普遍范式，我们似乎可以合理地得出这样的结论：数学家对这个数学理论库存添砖加瓦得越多越广，这个目标就越有可能被推进；稍微不那么比喻地说，这个目标和这种成功的范式会鼓励数学界去研究尽可能多的数学结构，去设计和研究尽可能多的数学理论，换句话说，不要对数学的自由发展过程施加任何外部限制。[2]

这种对当代数学目标的认知，以及如何有效推进这一目标的手段评估，对集合论来说意味着什么？为了回答这个问题，我认为我们可以考虑集合论所扮演的奠基性角色。康托尔本人曾经宣称“纯数学...不过是纯集合论而已”，而且这种说法的变体现在出现在许多现代教科书的开头几页；例如，Kunen写道：

集合论是数学的奠基。所有的数学概念都能基于集合和成员关系的原始概念来定义...从公理出发，所有已知的数学都可以被推导出来。

如果我们想捍卫这种奠基性的主张，那么我们必须谨慎地表述它：我们必须承认这种基础并不能提供认识论上的确定性，只能提供本体论上的统一性；我们当然不必声称所有的数学对象都是集合，只需要声称它们能被表示为集合；我们也不应该声称只有集合论方法（相对于分析、代数、几何方法）才能最好地研究这些被表示的对象。令人惊讶的事实是，哪怕我们谨慎地做出了如上的各种让步，集合论确实提供了一个框架，使得所有的经典数学对象和结构都能在这个框架中被定义，所有的经典数学定理都能在这个框架中被证明。因此，在正统的当代数学中，一个关于什么样的数学事物或结构存在的问题，最终都可以被看作是一个关于什么样的集合存在的问题；而一个关于什么能被证明的问题，最终都是一个关于什么能从集合论公理中被证明的问题。

那么我想提出如下观点：当代集合论的目标之一就是在上述意义上为数学进行奠基性的贡献。前文我们提到过一些全局数学目标，如果我们将局部的集合论目标与它们结合起来，我们可以从这个结论中得出一些方法论上的推论。我所说的推论想法很简单：数学的目标之一是对科学产生帮助；实现这个目标的一个有效手段是研究各种各样的数学结构，发展各种各样的数学理论；集合论的一个目标是提供能实现所有数学结构的集合；因此，为了避免限制可用结构的范围，集合论应该提供尽可能多的同构类型的实现。这个对集合论学者的方法论建议就是我所说的“极大化”。

显然，极大化需要一个更精确的表述，才能应用到像V=L这样的具体案例中。事实上，我认为这是可以做到的，但是在此处我先按下不表。关键的观察是，理论ZFC+V=L证明了某一个同构类的存在，而这个同构类型在L中没有被实现。换句话说，有一个候选的集合论公理体系，它提供了比ZFC+V=L更多的同构类型，而且没有任何方法能够弥补ZFC+V=L的这种缺陷。从这个角度来看，V=L是有限制性的。要说我们能从极大化思想中提取什么经验，那么其中之一必然是我们要避免有限制性的理论。[3]

这就是反对V=L的“极大化”论证。它基于对当代数学目标和当代集合论目标的部分分析。它确定了哪些有效的手段应该能进一步实现这些目标，并对这些手段的实际使用带来了方法论上的告诫。最后它的建议是：否认V=L。

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