【数学与哲学论文】数学的进展（一） (8-3)

哥德尔在30年代末在证明选择公理（AC）和连续统假设（CH）的相对一致性的过程中引入了所谓的“构造性公理”（下文记作V=L）（见Gödel 1940）：他证明了如果ZFC本身是一致的，那么ZFC+V=L也是一致的，然后他证明了AC和CH可以从V=L推出。可构造宇宙的思路是这样的：从罗素的分层类型理论出发，哥德尔将集合看作是由直谓性(predicative)公式在不同阶段生成的，所谓直谓性公式，就是那些量词和参数都被限制在现阶段已经生成的集合上的公式。但是与罗素不同，哥德尔直接默认了整个序数类是给定的，无论它是直谓还是非直谓的，并且用这些序数来标记这些阶段。在跑完所有叙述后，得到的结果是ZFC的一个模型，称为“可构造宇宙”或L，这个模型中AC是真的，因为集合是按照良序序列生成的。CH也是真的，尽管证明这一点的考虑要更微妙一些。公理V=L则是这样的一条断言：真实的集合论宇宙V的所有集合都能被这样生成，即V就是L。

现在我们试着把视角放在40年代中期。哥德尔已经证明V=L解决了集合论中许多未解的问题；不仅仅是AC和CH，还有各种各样的关于可定义实数集的问题，这些问题在之前的几十年中都没有得到解决。把V=L加入到集合论公理的列表中是不是合理的？哥德尔本人似乎也曾考虑过这一点，他说V=L“似乎给出了集合论公理的一个自然的完善”（Gödel 1938, 27），但是到了40年代中期，他则改变了主意，写道“估计不是所有的集合都能用这种方式定义”（Gödel 1947, 185）。到了60年代中期，他写道V=L“陈述了某种极简性质”，而同时“只有极大性质才能与集合的概念相协调”（Gödel 1964, 263）。尽管这个评论出现在1964年，但是没有迹象表明哥德尔的立场是基于Scott的定理的。不管怎样，我将尝试阐述的是，即使在Scott的证明之前，这种通过“极大化”论证，不接受V=L的立场也是有效的。[1]

也就是在论证中的这个节点上，我打算退后一步，思考一下20世纪的一个数学目标。在更早的时期，数学与物理科学几乎没有什么区别，但是非欧几何、n维空间、抽象代数和公理系统的发展都促进了当代纯数学的兴起，其中大部分都是在没有直接或间接参考科学需求的情况下进行的。识别和描述这种一般实践及其特定分支的各种数学目标是一个庞大且迷人的项目，但是我们在此对其按下不表；对于我们的目的来说，我们只需要注意当代数学的一个我认为毋庸置疑的特征：那就是尽管在科学中的有用性显然不是这种实践的唯一目标，但它仍然是它众多目标中的一个。在承认这一点的前提下，我们可以问这个目标如何才能得到最好的推进。

仅仅看数学在物理学中的应用，我们很快就会注意到，哪怕是那些最具戏剧性的交互，20世纪数学对物理理论的的帮助都普遍遵循着一个一般模式。例如黎曼几何在广义相对论中展现出应用价值，最开始是因为爱因斯坦在努力构建这个理论的过程中遇到了瓶颈，于是他向他的数学家朋友Grossman求助。格罗斯曼搜索了文献并且提供了爱因斯坦所需要的黎曼理论。同样地，在量子力学中，维格纳在求解n体问题时遇到了巨大的计算复杂性，于是他向数学家冯诺依曼求助。而冯诺依曼引起了维格纳对当时已经稍微完善的群论的注意，维格纳的问题很快就被解决了，而群论日后也成为了量子理论后续发展中的一个基本工具，尽管更早的时候人们预测群论永远不会有应用价值。

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