【数学与哲学论文】数学的进展（一） (8-2)

再比如说，假设这次我要尝试一项更有野心的任务。我定义了一种新的代数结构，也许这种代数结构的定义来自于否定掉某一类熟知的代数结构的某个条件；比如说我定义了一个“郡” ("schmoup")。然后我证明了没有群是“郡”，以及更多诸如此类的定理。数学有进展吗？可能没有。为什么没有？因为很有可能，我这种的数学活动实际上揭示了“郡”不是什么很重要的数学对象。这个例子说明了，如果我解决的问题或证明的定理要算作数学上的进展，那么这个问题、定理、解决方案或证明必须具有一定的数学重要性。

不经意间，我们的开头的简单回答渐渐变成了一个极其困难的新问题：是什么导致了一个数学事实/结果/工作被算得上重要？这个新问题也带来了一系列其他问题：数学重要性的标准是否因数学的不同分支而异？因数学的不同历史时期而异？更根本地，我们认为某件事重要与它真的是否重要，这两者是否不同？

我自己对于这三个衍生问题的回答都是肯定的：数学重要性的标准可以因数学的不同分支而异，也可以因数学的不同历史时期而异。但是数学界将某个数学事实/结果/工作算作“重要”这一行为是值得分析的，因为这一行为的背后存在着一些客观的内涵。简而言之，我的观点是：一个数学事实/结果/工作是否重要，取决于它是否有效地推进了它所处的数学实践的目标。这些目标可能因数学的不同分支而异，也可能因数学的不同历史时期而异，但是如果我们承认这些目标，那么一个数学事实/结果/工作是否有效地推进了这些目标，这个问题的答案是客观存在的；一个数学事实/结果/工作是否重要，取决于它是否有效地推进了这些目标，而不是取决于它是否仅仅在我们看来如此。

就目前来看，这些抽象的论述并没有什么价值；无论你对数学进展抱有何种理解，你都可以通过选择合适的目标来让你的理解跟前面的断言一致。例如，一个实在论者可能会说，某个数学实践的目标是发现关于某个抽象领域的客观真理；另一方面，一个持有社会现实主义观点的人可能会说，数学实践的目标就是最大程度优化它能申请到的国家科学基金。因此，我在上一段中所主张的内容只能通过固定一些特定的例子和特定的目标来展示。出于展示的目的，我将在这里考虑两个这样的特定情况，这两个情况都来自于集合论的最近几十年的工作。在这两个例子里，我所给出的确定的目标和给出的相关论证并没有都明确地出现在历史文献中，所以我们可以把接下来的内容看作某种理性化的重构。话虽如此，但我确实认为这些思想的一般思路是隐含在集合论社区的实践中的。

我第一个例子是Dana Scott在1961年发表的证明（Scott 1961），该证明表明可测基数的存在意味着哥德尔的构造性公理（V=L）为假。我将尝试论证这个结果在数学上的重要性，即它构成了真正意义上的数学进步，不过同时我必须承认这个判断是有不一定完全正确。作为我论证的开头，我将探讨当代集合论的特定目标，而为了做到这点，我将不得不退后一步，对20世纪数学目标做出一些更一般的观察。不过让我先从Scott定理之前构造性公理的地位开始说起。

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