准素分解与诺特环 (9-9)

根据 r(qᵢ)＝pᵢ 和命题2.5，存在一个 m＞0 使得

pᵢᵐ ⊂ qᵢ ，所以 lᵢpᵢᵐ ⊂ lᵢ∩pᵢᵐ ⊂ lᵢ∩qᵢ＝0，

无妨设 m ≥ 0 是使得 lᵢpᵢᵐ＝0 成立的最小正整数，则 lᵢpᵢᵐ⁻¹ ≠ 0 ，于是存在 0 ≠ x ∈ lᵢpᵢᵐ⁻¹ ；我们有 pᵢx＝0 ，所以 pᵢ ⊂ ann(x) ；

综上有 pᵢ＝ann(x)＝(0：x)

反之，如果 ann(x)＝p 为素理想，则 r(ann(x))＝p 为素理想，再根据第一唯一性定理即有 p 是属于 0 的素理想

至此，全部的铺垫已经完成，接下来我们将证明 Artin 环的结构定理

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