最前的前言
1. 互推关系
Dedekind 连续性公理 ⇔ 确界原理(公理) ⇔ 单调收敛定理 ⇔ 闭区间套定理(+ 阿基米德原理) ⇔ 有限覆盖定理 ⇔ 致密性定理 ⇔ 柯西收敛原理 ⇔ 聚点原理
1.1 Dedekind 连续性公理
Dedekind 分割:A,B 是 R 的两个子集,满足 A∪B=ℝ,A∩B=∅,A ≠ ∅,B ≠ ∅ 且对任何 α ∈ A,b ∈ B 都有 α<b ,则称 (A,B) 为 ℝ 的一个分割.
Dedekind 连续性公理:
对于ℝ 的任何分割,都存在唯一的 x* ∈ ℝ ,使对所有 α ∈ A 和 b ∈ B ,都有 α ≤ x* ≤ b .
1.2 确界原理
确界:
1 如果数集S 的上界集中有最小元,则称之为 S 的上确界,记为 sup S ;
2 如果数集S 的下界集中有最大元,则称之为 S 的下确界,记为 inf S .
注1:sup 是supremum 的缩写,inf 是infimum 的缩写.
注2:上确界的另一种翻译是least upper bound,下确界的另一种翻译是greatest lower bound. 这种翻译实
际上蕴含了它们实际上是最小上界和最大下界.
定理: β 是数集 S 的上确界的充分必要条件是:
1 对任意x ∈ S ,都有 x ≤ β ;
2 对任意ε>0 ,都存在 x₀ ∈ S ,使得 x₀>β–ε .
命题: β 是数集 S 的上确界的充分必要条件是:
1 对任意x ∈ S ,都有 x ≤ β ;
2 存在数列{xₙ} ⊆ S,使得 lim xₙ=β .
n→∞
确界原理(此处作为公理):
有上界的非空数集必有上确界.
注1: 这里选择确界原理当做公理,但实际上也可以选择其他理论作为公理.
注2: 某种约定有sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞.
注3:在确界原理的基础上我们容易得出:有下界的非空数集必有下确界.
注4:一个小命题:sup{|x − y| | x, y ∈ S} = sup S − inf S.
1.3 单调收敛定理
(1) 若数列{xₙ} 单调递增且有上界,则
lim xₙ=sup{xₙ│x ∈ ℕ*};
n→∞
(2) 若数列 [公式] 单调递减且有下界,则
lim xₙ=inf{xₙ│x ∈ ℕ*}.
n→∞
1.4 区间套定理
设[αₙ,bₙ] 是一列闭区间,满足:
(1) [αₙ₊₁,bₙ₊₁] ⊆ [αₙ,bₙ],n=1,2,3,· · ·;
(2) lim (bₙ – αₙ)=0 .
n→∞
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