准素分解与诺特环 (9-8)

ann(y) ⊂ ann(y²) ⊂ · · ·

根据 Noether 环性质可知该链必有上界，即存在 n＞0 使得

ann(yⁿ)＝ann(yⁿ⁺¹)＝· · ·，

我们证明 (yⁿ)∩(x)＝0 ，这样根据零理想的不可约性就有 yⁿ＝0 ；

取 α ∈ (yⁿ)∩(x) ，则由 xy＝0 知 αy＝0 ，设 α＝byⁿ ，则 byⁿ⁺¹＝0 ，于是 b ∈ ann(yⁿ⁺¹)＝ann(yⁿ) ，进而 α＝byⁿ＝0

由引理2.2和2.3立刻推出

定理2.4 设 A 为 Noether 环，则 A 的任一真理想均有准素分解

至此，我们就可以将 准素分解与诺特环（上）中的理论用于 Noether 环中了

命题2.5 设 A 为 Noether 环，则任一理想 l ⊂ A 均包含一个其根基 r(l) 的一个幂次

Pf. Noether 环的理想均是有限生成的，故可以设 r(l)＝(x₁，· · ·，xₖ) ，于是存在 nᵢ＞0 ，使得 nᵢⁿⁱ ∈ l ， 1 ≤ i ≤ k ；

ₖ

置 m：＝∑ (nᵢ – 1)＋1

ᵢ₌₁

，由于 r(l)ᵐ 是由形如 x₁ʳ¹ · · · xₖʳᵏ 的元素生成，其中 ∑rᵢ＝m ，而必存在一个 i 使得 rᵢ ≥ nᵢ ，所以 r(l)ᵐ ⊂ l

推论2.6 Noether 环的幂零根必为幂零的

Pf. 命题2.5中取 l＝(0) 即可

Noether 环上属于一个极大理想的准素理想具有以下的等价刻画

推论2.7 设 A 为 Noether 环，m ⊂ A 是极大理想， q ⊂ A 为任一理想，则以下条件等价：

（1）q 为 m– 准素的；

（2）r(q)＝m ；

（3）存在一个n＞0 使得 mⁿ ⊂ q ⊂ m

Pf. （1） ⇒ （2）显然；

（2） ⇒ （1）即为上篇中的命题1.3；

（2） ⇒ （3）由命题2.5可得；

（3） ⇒ （2）取根基并利用 r(mⁿ)＝m 可证

命题2.8 设 A 为 Noether 环， l ⊊ A 为理想，则属于 l 的素理想恰为集合

{(l：x)|x ∈ A}

中的所有素理想

Pf. 利用上篇命题1.10中类似的思路，可以通过考虑商环 A/l 将问题转化为 l＝(0) 的情形；

ₙ

设 0＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

是零理想的一个极小准素分解式， pᵢ＝r(qᵢ) ；置 lᵢ：＝∩qⱼ ≠ 0 ，

j≠i

对任一 x ∈ lᵢ\{0}，根据第一唯一性定理（定理1.7）的证明过程，可知

r(ann(x))＝r(0：x)＝pᵢ，

所以 ann(x) ⊂ pᵢ ；

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