准素分解与诺特环 (9-7)

设Σ 是一个由属于 l 的素理想构成的孤立集，置 S：＝A\∪p ，可以证明 S 是乘性子集； p∈Σ

对任一属于l 的素理想 p' ，如果 p' ∈ Σ ，则推出 p'∩S＝ф ；如果 p' ∉ Σ ，则根据 Prime avoidance 引理推出 p' ⊈ ∪p ，进而 p'∩S ≠ ф p∈Σ

综合命题1.12我们推出以下的唯一性定理

定理1.13 （第二唯一性定理）设 l 是一个可分解的理想， l 的一个极小准素分解式为

ₙ

l＝∩qᵢ，

ᵢ₌₁

设 {pᵢ₁，· · ·，pᵢₘ} 是一个由属于 l 的素理想构成的孤立集，则 qᵢ₁∩· · ·∩qᵢₘ 无关分解式的选取

Pf. 置 S：＝A\(pᵢ₁∪· · ·∪pᵢₘ) ，则由命题1.12知 qᵢ₁∩· · ·∩qᵢₘ＝S(l) ；第一唯一性告诉我们，属于 l 的素理想仅由 l 本身决定，因而 S 无关具体分解的选取，即 qᵢ₁∩· · ·∩qᵢₘ＝S(l) 也无关分解的选取

我们将在下一节介绍准素分解在 Noether 环中的应用

上一节中我们引入了准素分解的一般理论，证明了一个理想l ⊂ A 如果是可分解的，那么属于它的素理想是由该理想唯一确定的，而与具体的极小准素分解式选择无关；如果 S ⊂ A 是一个乘性子集，那么分式函子 S⁻¹ 作用于 l 极小准素分解式的效果，无非是筛去了所有与 S 相交的素理想

本节我们将准素分解理论应用于 Noether 环

2 Noether 环上的准素分解

首先证明，Noether 环的任一真理想均可分解为不可约理想之交，而 Noether 环上不可约理想必为准素理想

定义2.1 一个理想 l ⊊ A 称为不可约的（irreducible），如果 l＝l₁∩l₂ ⇒ (l＝l₁)∨(l＝l₂).

否则称为可约的（reducible）

引理2.2 设 A 为 Noether 环，则 A 的任一真理想均可表示为有限个不可约理想的交

Pf. 假设不成立，根据 Noether 环的升链条件可知，存在一个极大的不可表示为有限个不可约理想之交的真理想，设为 l₀ ，则首先 l₀ 是可约的，即存在 l₁ ⊋ l₀ 和 l₂ ⊋ l₀ 满足 l₀＝l₁∩l₂ ；由 l₀ 的极大性可知 l₁ 和 l₂ 皆可表示为有限个不可约理想之交，于是 l₀＝l₁∩l₂ 也可以表示为有限个不可约理想之交，这与 l₀ 的选取矛盾

引理2.3 设 A 为 Noether 环，则 A 的任一不可约理想是准素理想

Pf. 通过考虑商环（注意 Noether 环的商环也是 Noether 环），我们只需证明：如果零理想是不可约的，则零理想是准素的（这里用到准素理想在环同态下的原像必为准素理想）

设 xy＝0 并且 x ≠ 0 ，考虑理想升链

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。