准素分解与诺特环 (9-6)

（2）如果 S∩p＝ф ，那么对任一 s ∈ S 和 x ∈ A ， sx ∈ q 蕴含着 x ∈ q ；设 x ∈ A 满足 x/1 ∈ S⁻¹q ，则存在 t∈S 使得 tx ∈ q ，所以 x ∈ q ，由此推出 qᵉᶜ＝q ，即 S⁻¹q 的原像为 q ；并且我们有 r(S⁻¹q)＝S⁻¹r(q)＝S⁻¹p ；

直接用元素推到即可得出 S⁻¹q 是准素理想；最后，准素理想的原像总是准素理想，故 S⁻¹A 的准素理想在 f* 下的像必为 A 的准素理想，结合前述证明即可验证 f* 是 S⁻¹A 准素理想集和 A 准素理想集之间的双射

借助命题1.11，我们就可以利用理想l 的准素分解式，在分式环 S⁻¹A 中分解理想 S⁻¹l 了

以下为简便起见，我们用记号S(l) 表示 S⁻¹l 在 A 中的原像，其中 S ⊂ A 是乘性子集， l ⊂ A 为理想

命题1.12 设 S ⊂ A 为乘性子集， l ⊂ A 为可分解理想；设

ₙ

l＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

是一个极小准素分解式， pᵢ＝r(qᵢ) ， 1 ≤ i ≤ n ；给 qᵢ 适当编号使得 S 与 pₘ₊₁，· · ·，pₙ 相交，与 q₁，· · ·，qₘ 不交，则有

ₘ ₘ

S⁻¹ l＝∩S⁻¹qᵢ，S(l)＝∩qᵢ，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

并且以上均是极小准素分解式

Pf. 利用分式运算保交集和命题1.11（1）即有

ₘ

S⁻¹ l＝∩ S⁻¹qᵢ，

ᵢ₌₁

并且命题1.11（2）告诉我们，对每个 1 ≤ i ≤ m ， S⁻¹qᵢ 是 S⁻¹pᵢ– 准素理想， pᵢ 互异蕴含着 S⁻¹pᵢ 也互异，进而推出这是一个极小准素分解式；将这个式子的两边取原像即有

ₘ ₘ

S(l)＝(S⁻¹A)ᶜ＝∩(S⁻¹qᵢ)ᶜ＝∩qᵢ，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

最后一个等号用到命题1.11（2）

综上可知，分式运算的作用就是从分解式中筛去了与对应素理想有交的准素理想

设Σ 为若干个属于 l 的素理想之集合，称 Σ 为孤立的（isolated），如果它满足：对于属于 l 的素理想 p' ，若存在一个素理想 p ∈ Σ ，使得 p' ⊂ p ，则必有 p' ∈ Σ ；显然 Σ 是有限集，因为属于 l 的素理想本身就只有有限个

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。