准素分解与诺特环 (9-5)

ᵢ₌₁

然而定理1.7又告诉我们，对每个属于 (0) 的素理想 pᵢ ，存在一个 xᵢ ∈ A 使得 r(0：xᵢ)＝pᵢ ，显然每个 xᵢ 均不为零，因此

ₙ

∪pᵢ ⊂ D ，

ᵢ₌₁

ₙ

这就证明了 D＝∪pᵢ ，

ᵢ₌₁

其中 {p₁，· · ·，pₙ} 是所有属于 (0) 的素理想；

现在考虑任一可分解的理想 l ⊂ A，

ₙ

l＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

为 l 的一个极小准素分解， pᵢ＝r(qᵢ) ；考虑商环 A ↠ A/l ，对 1 ≤ i ≤ n ，记 ˉqᵢ 为 qᵢ 在 A/l 中的像，则 ˉqᵢ 为 ˉpᵢ– 准素的，并且在 A/l 中有

ₙ

(0)＝∩ˉqᵢ，

ᵢ₌₁

容易验证上式满足定义1.6的条件（M1）和（M2），所以这是 (0) 的一个极小准素分解式，因此

─ ₙ

D＝∪ˉpᵢ，

ᵢ₌₁

这里

─

D＝∪(ˉ0，ˉy)＝{ˉx ∈ A/l|(ˉ0：ˉx) ≠ 0}，

ˉy≠0

上式两边对 f 取原像即有

ₙ

{x ∈ A|(l：x) ≠ l}＝∪pᵢ，

ᵢ₌₁

总结上述的命题：如果零理想在A 中是可分解的，那么 A 的零因子集 D 是所有属于 (0) 的素理想之并，而 A 的幂零根 𝕹 （即 √(0) ）则是所有属于 (0) 的极小素理想之交

接下来考虑准素理想的局部化

命题1.11 设 S ⊂ A 为乘性子集， q 为 p– 准素理想，则

（1）如果S∩p ≠ ф ，则 S⁻¹q＝S⁻¹A；

（2）如果S∩p＝ф ，则 S⁻¹q 是一个 S⁻¹p– 准素理想，并且其原像恰为 q ；

由此得到映射

f*：{ideαls of S⁻¹A} → {ideαls of A}

J ↦ f⁻¹(J)

实现了 S⁻¹A 准素理想集和 A 准素理想集之间的双射

Pf. （1）取 s ∈ S∩p ，则存在 n＞0 使得 sⁿ ∈ S∩q ，于是 S⁻¹q 包含 S⁻¹A 的单位 sⁿ/1 ；

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