数学联邦政治世界观
超小超大

准素分解与诺特环 (9-4)

(2)视A/l 为 A– 模,则(1)中的 (l:xᵢ) 也就是 am ᴀ/ɪ(xᵢ) ,于是定理1.7告诉我们,准素分解产生的素理想 pᵢ,1 ≤ i ≤ n ,恰好就是所有形如 A/l 中某个元素零化子的根基的素理想

称准素分解(*) 中产生的素理想 pᵢ 为属于 l 的素理想或者与 l 相关联的素理想;集合 {p₁,· · ·,pₙ} 中的极小元称为属于 l 的极小(或孤立)素理想,其余的素理想称为嵌入(embedded)素理想

我们来看一个例子:

设A=k[x,y] , l:=(x²,xy) 为理想;设 p₁=(x) , p₂=(x,y) ,则 p₁ 为素理想, p₂ 为极大理想,根据命题1.3知 p²₂=(x²,xy,y²) 是 p₂– 准素的,并且 p₁ ⊊ p₂ ;我们有 l=p₁ ∩ p²₂ ,这是 l 的极小准素分解, p₁ 和 p₂ 是属于 l 的素理想(与 l 关联的素理想),其中 p₁ 是极小的,而 p₂ 是嵌入的;注意到 r(l)=p₁∩p₂=p₁ 为素理想,但 l 不是准素的

以下命题表明,属于l 的极小素理想和所有包含 l 的素理想之集中的极小元,是等同的

命题1.9 设 l 是可分解的理想,则任一包含 l 的素理想必包含一个属于 l 的极小理想

Pf. 设 p ⊃ l=∩qᵢ ,则 p=r(p) ⊃ r(l)=∩pᵢ ,根据 Prime avoidance 引理知存在 i 使得 p ⊃ pᵢ ,因此 p 必包含一个属于 l 的极小理想

下面请读者欣赏一段文字游戏:

每个属于l 的素理想显然是包含 l 的;命题1.9告诉我们,任一包含 l 的素理想之集的极小元,其必包含一个属于 l 的极小素理想,这一极小素理想也是包含 l 的,故必和该极小元相等;反之,任一属于 l 的极小素理想,如果它还包含一个包含 l 的素理想,则根据命题1.9,此包含 l 的素理想又包含了一个属于 l 的极小素理想,利用极小性此属于 l 的极小素理想必与原来的极小素理想相等,这就证明了原来的属于 l 的极小素理想在包含 l 的素理想之集中也是极小的;

因而属于l 的极小素理想和所有包含 l 的素理想之集中的极小元,确实是等同的

命题1.10 设 l ⊂ A 是可分解的理想, l 的一个极小准素分解式为

l=∩qᵢ ,记 pᵢ:=r(qᵢ) 为属于 l 的素理想,则

ᵢ₌₁

∪pᵢ={x ∈ A|(l:x) ≠ l}.

ᵢ₌₁

特别地,如果零理想是可分解的,则 A 的零因子集 D 等于所有属于零理想的素理想之并

Pf. 先证明命题的后半部分;笔记(二)定义1.3.10下面我们证明了

D=∪r(0:x) ,

x≠0

在定理1.7中我们给出了等式

r(0:x)=∩pⱼ,

x∉qⱼ

所以存在一个 j (注意这里 x ≠ 0 )使得 r(0:x) ⊂ pⱼ,于是

D ⊂ ∪pᵢ;

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