准素分解与诺特环 (9-4)

（2）视A/l 为 A– 模，则（1）中的 (l：xᵢ) 也就是 am ᴀ/ɪ(xᵢ) ，于是定理1.7告诉我们，准素分解产生的素理想 pᵢ，1 ≤ i ≤ n ，恰好就是所有形如 A/l 中某个元素零化子的根基的素理想

称准素分解(*) 中产生的素理想 pᵢ 为属于 l 的素理想或者与 l 相关联的素理想；集合 {p₁，· · ·，pₙ} 中的极小元称为属于 l 的极小（或孤立）素理想，其余的素理想称为嵌入（embedded）素理想

我们来看一个例子：

设A＝k[x，y] ， l：＝(x²，xy) 为理想；设 p₁＝(x) ， p₂＝(x，y) ，则 p₁ 为素理想， p₂ 为极大理想，根据命题1.3知 p²₂＝(x²，xy，y²) 是 p₂– 准素的，并且 p₁ ⊊ p₂ ；我们有 l＝p₁ ∩ p²₂ ，这是 l 的极小准素分解， p₁ 和 p₂ 是属于 l 的素理想（与 l 关联的素理想），其中 p₁ 是极小的，而 p₂ 是嵌入的；注意到 r(l)＝p₁∩p₂＝p₁ 为素理想，但 l 不是准素的

以下命题表明，属于l 的极小素理想和所有包含 l 的素理想之集中的极小元，是等同的

命题1.9 设 l 是可分解的理想，则任一包含 l 的素理想必包含一个属于 l 的极小理想

Pf. 设 p ⊃ l＝∩qᵢ ，则 p＝r(p) ⊃ r(l)＝∩pᵢ ，根据 Prime avoidance 引理知存在 i 使得 p ⊃ pᵢ ，因此 p 必包含一个属于 l 的极小理想

下面请读者欣赏一段文字游戏：

每个属于l 的素理想显然是包含 l 的；命题1.9告诉我们，任一包含 l 的素理想之集的极小元，其必包含一个属于 l 的极小素理想，这一极小素理想也是包含 l 的，故必和该极小元相等；反之，任一属于 l 的极小素理想，如果它还包含一个包含 l 的素理想，则根据命题1.9，此包含 l 的素理想又包含了一个属于 l 的极小素理想，利用极小性此属于 l 的极小素理想必与原来的极小素理想相等，这就证明了原来的属于 l 的极小素理想在包含 l 的素理想之集中也是极小的；

因而属于l 的极小素理想和所有包含 l 的素理想之集中的极小元，确实是等同的

命题1.10 设 l ⊂ A 是可分解的理想， l 的一个极小准素分解式为

ₙ

l＝∩qᵢ ，记 pᵢ：＝r(qᵢ) 为属于 l 的素理想，则

ᵢ₌₁

ₙ

∪pᵢ＝{x ∈ A|(l：x) ≠ l}.

ᵢ₌₁

特别地，如果零理想是可分解的，则 A 的零因子集 D 等于所有属于零理想的素理想之并

Pf. 先证明命题的后半部分；笔记（二）定义1.3.10下面我们证明了

D＝∪r(0：x) ，

x≠0

在定理1.7中我们给出了等式

r(0：x)＝∩pⱼ，

x∉qⱼ

所以存在一个 j （注意这里 x ≠ 0 ）使得 r(0：x) ⊂ pⱼ，于是

ₙ

D ⊂ ∪pᵢ；

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