准素分解与诺特环 (9-3)

l＝∩qᵢ.(*)

ᵢ₌₁

一般来讲，准素分解(*) 不一定存在，即使存在也不一定唯一；但是引理1.4告诉我们，总是可以将属于同一个素理想的准素理想因子合并，得到一个“极小的”准素理想因子，同时将 (*) 右边对交集无贡献的项删去，这样我们总可以假设：

（M1）r(qᵢ) 是互异的；

（M2）对任一1 ≤ i ≤ n 均有 qᵢ ⊉ ∩qⱼ 成立；

j≠i

满足上述条件（M1）（M2）的准素分解称为极小的（minimal），或称无赘的（irredundant）、既约的（reduced）、正规的（normal）（名字真多）

如果理想l ⊂ A 有一个准素分解，则称 l 为可分解的（decomposable）

定理1.7 （第一唯一性定理）设 l 是一个可分解的理想，有极小的准素分解式

ₙ

l＝∩qᵢ

ᵢ₌₁

设 pᵢ＝r(qᵢ) ， 1 ≤ i ≤ n ，则所有的 pᵢ （注意 pᵢ 互异）恰好是集合

{r(l：x)|x ∈ A}

中的所有素理想，进而素理想 pᵢ，1 ≤ i ≤ n 无关 l 准素分解的选取

ₙ ₙ

(l：x)＝(∩qᵢ：x)＝∩(qᵢ：x)，

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

所以根据引理1.5有

ₙ

r(l：x)＝∩r(qᵢ：x)＝∩pⱼ，

ᵢ₌₁ x∉qⱼ

筛选掉了包含 x 的因子；

现在假设 r(l：x) 是素理想，则根据 Prime avoidance 引理可知，存在 j 使得 r(l：x)＝pⱼ ，这样集合 {r(l：x)|x ∈ A} 中的每个素理想必形如 pⱼ，1 ≤ j ≤ n ；反之，极小准素分解的条件（M2）告诉我们，对每个 1 ≤ i ≤ n ，均存在元素 xᵢ ∈∩qⱼ ，而 xᵢ ∉ qᵢ j≠i

，于是 r(l：xᵢ)＝pᵢ

注记1.8

（1）上述证明中，我们选取的xᵢ ∈ A 事实上满足 (l：xᵢ)＝q(qᵢ：xᵢ) 是 pᵢ 准素的，这由引理1.5（2）可推出；

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