准素分解与诺特环 (9-2)

（3）反之一个素理想的幂次也未必是准素理想；例如，设A＝k[x，y，z]/(xy – z²) ，用 ˉx ， ˉy ， ˉz 表示变元 x，y，z 在 A 中的像，则 p：＝(ˉx，ˉz) 是 A 的素理想，因为 A/p ≃ k[y] 为整环；我们有关系式 ˉxˉy＝ˉz² ∈ p² ，但是 ˉx ∉ p² 并且 ˉy ∉ r(p²)＝p ，因此 p² 不为准素理想

但是我们有以下关于极大理想的结论

命题1.3 如果根基 r(l) 是极大理想，则 l 必为准素的；特别地，任一极大理想 m 的幂次均为 m– 准素的 ─

Pf. 设 r(l)＝m ，则 m 在商环 A/l 中的像 m 是环 A/l 的幂零根；

─

但同时 m 也是 A/l 的极大理想，因此 A/l 有唯一的素理想

─

m，所以 A/l 的每个元素或为单位，或落在幂零根 ─

m 中，即为幂零元；进而 A/l 的零因子必为幂零元，这就证明了 l 是准素理想

我们的目标是研究一个理想如何表示为若干个准素理想的交；类比于同一素数幂的乘积必为素数幂，属于同一素理想的准素理想之交仍为准素理想

引理1.4 设 qᵢ，1 ≤ i ≤ n 皆是 p– 准素的，则其交

ₙ

q：＝∩qᵢ 也为 p– 准素的

ᵢ₌₁

ₙ ₙ

Pf 首先 r(q)＝r(∩qᵢ)＝∩r(qᵢ)＝p

ᵢ₌₁ ᵢ₌₁

；设 xy ∈ q ，并且 x ∉ q ，即存在一个 i 使得 x ∉ qᵢ ，于是根据 xy ∈ qᵢ 和 qᵢ 的准素性可知存在一个正整数 n 使得 yⁿ ∈ qᵢ ，因此 y ∈ r(qᵢ)＝p＝r(q)

下面对任一x ∈ A 分类 (q：x)

引理1.5 设 q 是 p– 准素的， x ∈ A ，则

（1）如果x ∈ q ，则 (q：x)＝(1) ；

（2）如果x ∉ q ，则 (q：x) 是 p– 准素的；

（3）更进一步如果x ∉ p ，则 (q：x)＝q

Pf. （1）是显然的；（3）根据准素理想的等价定义即可证明；

对于（2），首先 (q：x) ⊂ p ，这是因为对任一 y ∈ (q：x) ，据定义有 xy ∈ q ，而 x ∉ q ，所以 y ∈ p ；这样我们就有 q ⊂ (q：x) ⊂ p ，再取根基即有 r(q：x)＝p ；现在设 yz ∈ (q：x) ，则 xyz ∈ q，如果 y ∉ (q：x) ，即 xy ∉ q ，则必有 z ∈ r(q)＝p＝r(q：x) ，这就证明了 (q：x) 是准素的

现在正式定义准素分解

定义1.6 （Primary decomposition）设 l ⊂ A 为理想， l 的一个准素分解是指将 l 表示为有限个准素理想的交，即

ₙ

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