准素分解与诺特环 (9-1)

在抽象代数的课程里，我们学习过唯一分解整环的概念，它的定义是：任一非零元素均可分解为有限个不可约元素的乘积，并且这种分解是唯一的。可以证明，整环A 是唯一分解整环 ⇔ A 满足理想的升链条件（即 A 为 Noether 环），并且 A 中每个不可约元都是素元（注意素元显然是不可约元）

一般情况下，一个整环可能不具有“唯一分解”这样好的性质，最经典的例子比如ℤ[√–5] ，可以证明 2 ， 3 ， 1 ± √–5 均是其上两两不相伴的不可约元，但我们有等式 6＝2 × 3＝(1＋√–5)(1 – √–5)，因而 ℤ[√–5] 不是唯一分解整环

代数数论中我们更多考虑的是理想的分解，即将一个理想分解为若干个素理想的乘积，而不是元素的分解；将素数过渡到理想，即为素理想，将素数幂过渡到理想，就是本节研究的对象——准素理想；这一类比对于本节概念的理解是十分有帮助的

我们后面会证明，Dedekind 整环具有素理想分解的唯一性；如果仅仅只是 Noether 环，则不一定具有此性质，它的理想不一定可分解为素理想之积，但 Noether 环总是满足较弱一些的性质，即理想总可以分解为准素理想之交，这就是准素分解

本节内容参考 Atiyah 第四章和第七章，纯水，就是翻译了一遍，建议读者养成阅读原著的好习惯

1准素分解理论

定义1.1 （primary ideal）称 A 的一个理想 q ⊂ A 是准素的（primary），如果 q ≠ A ，并且对于 xy ∈ q ， x ∉ q ，必存在正整数 n 使得 yⁿ ∈ q ，即 y ∈ r(q) ；换句话说就是， A/q ≠ 0 并且 A/q 的任一零因子皆是幂零元

容易证明，任一素理想必为准素理想；设f：A → B 为环同态， q ⊂ B 为准素理想，则其原像 f⁻¹(q) 也为准素理想；如果 f 是满射，可以证明，如果 A 的准素理想 q ⊃ Kerf ，则 f(q) 是 B 的准素理想

命题1.2 设 q ⊂ A 为准素理想，则其根基 r(q) 必为素理想；进而推出 r(q) 是包含 q 的最小素理想

Pf. 设 xy ∈ r(q) ，则存在 m＞0 使得 xᵐyᵐ＝(xy)ᵐ ∈ q ，于是由 q 的准素性可知有 xᵐ ∈ q 或者存在一个 n＞0 使得 yᵐⁿ ∈ q ，此即 x ∈ r(q) 或 y ∈ r(q)

如果p＝r(q) ，则称 q 是p– 准素的（p– primary）；设 xy ∈ q ， q 为 p– 准素的，则或有 x ∈ q 或有 y ∈ p

我们来看几个例子：

（1）整数环ℤ 的所有准素理想为 (0) 和 (pⁿ) ，其中 p 是素数， n＞0 为正整数；

（2）设A＝k[x，y] ， q＝(x，y²) ，则 A/q ≃ k[y]/(y²) ，容易看出 A/q 的所有零因子是 y 的某个倍数，所以其零因子均是幂零的，由此得到 q 是 A 的准素理想；计算可得 q 的根基 p＝(x，y) ，于是 p² ⊊ q ⊊ p ，由此推出准素理想并不一定总是一个素理想的幂次（这里用到任一素理想幂次的根基均等于该素理想）；

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