伽罗瓦理论 (4-1)

（一）方程在域上的伽罗瓦群

对于域F上的一个多项式方程P(x)＝αₘxᵐ＋αₘ₋₁xᵐ⁻¹＋. . .＋α₀＝0 ，假设有m个根，分别为 r₁，. . .，rₘ 。

根据引理2,3,4，存在数V，称之为方程P(x)=0的一个预解式V，满足：

（1）V 和 r₁，. . .，rₘ 间相互可“有理表示”。即存在域F上的n元多项式φ和一组一元多项式 Φ₁，. . .，Φₘ ，满足：

V＝φ(r₁，. . .，rₘ )；

Φ₁(V)，. . .，Φₘ(V)是方程P(x)=0的根，即 P(Φᵢ(V))＝0，i＝1，. . .，m 。

（2） 存在域F上的n次不可约多项式h(x) 。假设h(x)=0的其他根为 V₂，. . .，Vₙ ，这些根称之为 V 在域F上的共轭根，则这些共轭根与方程 P(x)＝0 的根相互可“有理表示”。

根据引理1，对于任意i＝2，. . .，n j＝1，. . .，m Φⱼ(Vₘ) 是方程P(x)=0的根。

于是，如果r₁，. . .，rₘ 两两互异，就可以得到n组P(x)=0的根的排列（Permutation）：

Φ₁(V)，. . .，Φₘ(V)

....

Φ₁(Vᵢ)，. . .，Φₘ(Vᵢ) .............................. (l)

...

Φ₁(Vₙ)，. . .，Φₘ(Vₙ)

我们沿用伽罗瓦的做法，将排列Φ₁(Vᵢ)，. . .，Φₘ(Vᵢ) 记作 (Vᵢ) 。

实际上，方程P(x)=0在域F上的预解式应该不是唯一的。因此，假如我们另取一个伽罗瓦预解式W (注意：也可以是 Vᵢ 中的一个，实际上伽罗瓦原始论文中潜台词里应该是取其中的任一个 Vᵢ 。但这里我们更一般化一点)，根据引理4得到的结论，可得 W 在域F上的n-1个共轭根 W₂，. . .，Wₙ ，同样得到n组P(x)=0的根的排列：

Ψ₁(Wⱼ)，Ψ₂(W)，. . .，Ψₘ(W)

....

Ψ₁(Wⱼ)，Ψ₂(Wⱼ)，. . .，Ψₘ(Wⱼ). . . . . .. . . . . . . . . . . l l

...

Ψ₁(Wₙ)，Ψ₂(Wₙ)，. . .，Ψₘ(Wₙ)

其中，Ψ₁(Wⱼ)，Ψ₂(Wⱼ)，. . .，Ψₘ(Wⱼ)， j＝1，. . .，n 是方程p(x)=0的根的一项排列。

排列组（I）和（II）会有什么共同的特性，这一特性就是伽罗瓦方程论思想的熠熠生辉的发现。

伽罗瓦天才地发现，排列(Permutation)组（I）和（II）中体现的方程根之间的变换(Substitutions)是一样的。也就是说，排列组里蕴含的方程根之间的变换(Substitutions)是域F上多项式方程的一个固有属性，也可以说是一个反映方程可解性（或者说方程的根的可表达性）的一个指标。从变换的角度讲，伽罗瓦称其为方程P(x)=0在域F上的伽罗瓦群。

注意：为叙述方便，下面设定V₁＝V W₁＝W。

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