伽罗瓦理论 (4-2)

1.用排列组（Permutαtions）来标识变换(Substitutions)

伽罗瓦是用方程根的排列组(Permutations)来表示一组（群Group）方程根的变换(Substitutions)。

排列组只是一种形式，或是一种符号，用来表示根的变换组（群）这个实体，类似于用阿拉伯数字符号“2”来表示整数2这个实体，我们也可以用汉字“二”来表示整数2这个实体。请注意这层意思。

伽罗瓦在原文中指出：“尽管如此，既然不用排列来表示人们很难理解变换，因此我们在文中经常提到（变量或数的）排列，只把变换看作是从一个排列到另一个排列的数据变动（passage）。（Nevertheless, since it is impossible to grasp the idea of a substitution without grasping that of a permutation, we will retain will make frequent use of permutations in the language, and we shall not consider substitutions other than as the passage from one permutation to another.）”。伽罗瓦这段文字大抵应该是表示这个意思。

如何用一个排列组来表示一组变换呢？也就是说一组排列表示一组什么样的变换？伽罗瓦接着指出：“当我们编组一些变换时，我们将这些变换从同一个排列开始When we wish to group some substitutions we make them all begin from one and the same permutation.”。意思就是说，一个n个排列构成的排列组代表n个变换，其中一个变换就是从该组排列选定的一项排列（一般是第一项排列）到排列组的一项排列之间的数据变动关系。于是，选定排列代表恒等变换，其他一个排列代表其他一个变换。

就拿上面的排列组(I)来讲，下列n组排列

Φ₁(V)，. . .，Φₘ(V)

....

Φ₁(Vᵢ)，. . .，Φₘ(Vᵢ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . (l)

...

Φ₁(Vₙ)，. . .，Φₘ(Vₙ)

代表n个根的变换构成的变换组，其中的变换是排列V 到排列 Vᵢ ，i＝1，. . .，n ，所代表的变换。

这里解释一下，排列V 到排列 Vᵢ ，i＝1，. . .，n代表的变换，就是排列 V 中第 j 位 Φⱼ(V) 变换到 Vᵢ 中的第 j 位的 Φⱼ(Vᵢ) ，其中 j＝1，. . .，m ，也就是两排列对应位置上的数字进行变换。

这样的话，也可以理解排列组（I）中的每一个排列可以代表一个变换。

2. 排列组（I）和排列组（II）代表同一个的根之间的变换组

也就是说，选用不一样的伽罗瓦预解式，通过上述步骤得到的方程根之间的变换组是唯一的，与选用的伽罗瓦预解式无关，与每一排列中根的“出场顺序”无关。这一点非常重要。

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